262 THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

P'

probabilité de ce cas, — sera la probabilité relative à ce cas, quela partie finira au coup x. Mais on a

P'

car pour que la partie finisse au coup x — 2, il faut qu’au coupx —m-1, l’un des joueurs ait déjà gagné deux coups, et qu’ilgagne ce coup et les n — 3 coups suivants. On a donc

£L — L~ 2 "~ 2 1 '

^.z x _, est donc la probabilité que la partie finira au coup x, re-lative à ce cas, et ainsi de suite.

En rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura

La fonction génératrice de z x est, par le premier livre,

+(0

ou

f>KQ.(2-0

! — t-+- — -t n2 "

Pour déterminer \f/ (l), nous observerons que la partie 11e peutfinir au plus tôt qu’au coup n, et que la probabilité pour cela

est pjzr; car il faut que le vainqueur au premier coup gagneles n — 1 coups suivants; ^ (t) ne doit donc renfermer que la puis-sance n de t, et —^ doit être le coefficient de cette puissance; ce