LIVRE DEUXIÈME. 263

f n

qui donne \f/ ( t ) = ; ainsi la fonction génératrice de z x est

—.r. (2— t)

2 " v '

1 —/+ — .<*

2"

La somme des coefficients des puissances de t jusqu’à l’infini, dansle développement de cette fonction, est la probabilité que la partiedoit finir après une infinité de coups; or on a cette somme enfaisant t= 1 dans la fonction, ce qui la réduit à l’unité; il est donccertain que la partie doit finir.

On aura la probabilité que la partie sera finie au coup x ouavant ce coup, en déterminant le coefficient de t x dans le dévelop-pement de la fonction précédente, divisée par 1 — t; la fonctiongénératrice de cette probabilité est donc

<-')■(-'+f.-l-)

Donnons à la fonction génératrice de z x , cette forme

1 / n . (2 —0 / 1 / n 1 r \

-- .11 -.- 1 --r — etc.);

\ 2 n 1—/ 2 ,n (1— ty /

i—t

f rn (2 _M

le coefficient de f* dans —— -- est

2 rn .( 1 — t ) r

1 (x— rn-H).(x — rn+2)...(x— rn+r— 2) , x

— -—-o— -r —4- --[ x — rn-hir —2 ;

2 " 1. 2 . 3 ...(r—1) v '

on a donc

<■= ? - + !î^.(x-3^4)

— -- \ in - '-.[x— 4w-I-6 -h etc.

1 .2.3.2*™ ' '