264 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

expression qui n’est relative qu’à x plus grand que n, et dans la-quelle il ne faut prendre qu’autant de termes qu’il y a d’unités

entières dans le quotient — : lorsque x=n, on a z x — 7^17-

En développant de la même manière la fonction génératrice dela probabilité que la partie finira avant ou au coup x, on trou-vera pour l’expression de cette probabilité,

.r — H +2 i-2n + i / /\

- -r—— 2 H-1-4]

2 " 1 . 2 . 2 * ' '

(x — 3n + 1 ). [x — 3 n + 2)

1 . 2 . 3 . 2 3

.{x — 3 n -h 6) — etc.

cette expression ayant lieu dans le cas même de x=n.

Déterminons maintenant les probabilités respectives des joueurspour gagner la partie au coup x. Soit y Cx celle du joueur qui a

gagné le premier coup; soient y, jX ,y, <x .y„_ 1<X celles des joueurs

suivants, et y nx celle du joueur qui a perdu au premier coup, etqui parla est devenu le dernier. Désignons les joueurs par (o), (1),

(2),_ [n— i),(n). Cela posé, la probabilité j,. * du joueur (r)

devient y r si au second coup le joueur (o) est vaincu par lejoueur (1) ; car il est visible que (r) se trouve alors, par rapportau vainqueur (1), dans la même position où était (r—1) par rap-port au vainqueur (o) ; seulement, il y a un coup de moins à jouerpour arriver au coup x, ce qui change x dansa;—1. Présentementla probabilité que le joueur (o) sera vaincu par (1) est y; ainsiÿ. y r -i, x -i est la probabilité du joueur (r) pour gagner la partie aucoup x, relative au cas où (o) est vaincu par (1). Si (o) n’est vaincuque par (2), y r>x devient y r -t tX -,, et la probabilité de cet événe-ment étant -i-, on a y r _ s pour la probabilité du joueur (r),de gagner la partie au coup x, relative à ce cas. Si le joueur (o)n’est vaincu que par le joueur (r), y rx devient et la proba-

bilité de cet événement est ainsi -~-yo,x-r est la probabilité du