LIVRE DEUXIEME.

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joueur (r) pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas. Sile joueur (o) n’est vaincu que par le joueur (r-f-i), y rx se changedans j n _ lx _ r _,; car alors le joueur (r) se trouve, par rapport auvainqueur, dans la position primitive du joueur (n — 1) par rap-port au joueur (o) : seulement il ne reste que x —r—1 coups àjouer pour arriver au coujd x. Or la probabilité que (o) ne sera

vaincu que par le joueur (r+i) est est donc

la probabilité de (r) pour gagner la partie au coup x, relative à cecas. En continuant ainsi, et rassemblant toutes ces probabilitéspartielles, on aura la probabilité entière y r>x du joueur (r) pourgagner la partie; ce qui donne l’équation suivante,

-t- ■ ■ ■ ■ -i- — -JVï-r-t- i, *-i—I

1 12 r-t-» ’J’»-»,*—r-s • • • • "f~ n-t-i •

Cette expression a lieu depuis r= 1 jusqu’à r=n — 2. Elle donne

1 _ 1 1

1.^— 1 ^7 ■ •

1

~n-J r ,x- n •

En retranchant cette équation de la précédente, on aura celle-ciaux différences partielles,

Jr,x Jt— ~^n-J l 'r,x—n (*)

cette équation s’étend depuis r —- 2 jusqu’à r = n —2.

On a, par le raisonnement précédent, l’équation suivante,

_ 1 1 1

}n—i,x ~ ‘Jn— t,x-i ~ I - ^7 ‘ ) >r >— s. x—t • • • • “I - 2 n— i n-+-' •

Mais l’expression précédente de y rx donne

1 _ 1 1 1

2 —.y n — j iX —> • • • • 2»— 1 • n-^> n—i,x—n t

TOME vu.

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