268 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Ainsi la fonction génératrice de l’équation ( 1 ) aux différencespartielles est

/).(. —/ 7 ’)

la fonction génératrice de y,. >x est donc

Le coefficient de t x dans le développement de cette fonction estla probabilité du joueur (r) de gagner la partie au coup x. Onpourra ainsi déterminer cette probabilité par ce développement.La somme de tous ces coefficients jusqu’à x infini est la proba-bilité du joueur (r) de gagner la partie; or on a cette somme en fai-

sant /=i dans la fonction précédente, ce qui donne T= - —

nommons p cette dernière quantité, et désignons par y r , la pro-babilité de (r) de gagner la partie, on aura

y _ ( l ~P)-P r

’2 —p — p n "

Cette expression s’étend depuis r=o jusqu’à r—n — 1 , pourvuqu’on y change y 0 dans ÿ 0 ,ÿ 0 exprimant la probabilité de gagnerla partie, des deux premiers joueurs au moment où ils entrentau jeu.

Maintenant, chaque joueur perdant déposant un franc au jeu,déterminons l’avantage des différents joueurs. Il est clair qu’aprèsx coups il y avait Æ jetons au jeu; l’avantage du joueur (r) relatifà ces x jetons est le produit de ces jetons par la probabilité y,. xde gagner la partie au coup x; cet avantage est donc x. y TiX . La