LIVRE DEUXIEME. 269

valeur de x. j rx est le coefficient de f* -1 . dt dans la différentiellede la fonction génératrice de y rx ; en divisant donc cette différen-tielle par dt, et en y supposant ensuite /=i, on aura la sommede toutes les valeurs de x. y r>x jusqu’à x infini : c’est l’avantage dujoueur (r). Mais il faut en retrancher les jetons qu’il met au jeuà chaque coup qu’il perd; or y rx étant sa probabilité de gagner lapartie au coup x, 2 n .y rx _„ + l sera sa probabilité d’entrer au jeu,au coup x —n-f-i , puisque celte dernière probabilité, multipliée

par la probabilité qu’il gagnera ce coup et les n — 1 coups

suivants, est sa probabilité de gagner la partie au coup x. En suppo-sant donc qu’il perde autant de fois qu’il entre au jeu, la sommede toutes les valeurs de 2". y r x _, 1H . 1 jusqu’à x infini serait le dé-savantage du joueur (r); et comme la somme de toutes les valeursdey r x est égale à la somme de toutes les valeurs de y r>x , ou à

y r , on aurait 2 n . y r , ou —-—pour le désavantage du joueur

2—p p

(r). Mais il ne perd pas chaque fois qu’il entre au jeu, parce qu’ilpeut entrer au jeu et gagner la partie; il faut donc ôter de 2". y r ,la somme de toutes les valeurs de y x ouy r , et alors le désavantage

de (r) est v ^_ p _ p V ~- p ou r avoir l’avantage entier de (r), il

faut retrancher cette dernière quantité, de la somme des valeursde x. y r x ; en désignant donc par S cette somme, l’avantage dujoueur (r) sera

C_ (2" -l).(l ~p).p r

2 — p~p n ’

S étant, comme on l’a vu, la différentielle de la fonction généra-trice dey rx divisée pardf, et dans laquelle on suppose ensuite f=i.Dans cette supposition, on a

dTdt

T=

= —np.(i - p ).