Désignons par ) r l’avantage de (r), on trouvera
__ (np+i-n) L _ v p M + n.{i-p).p*-p ir 2• — p — p“ ' ' ' 2 —p—p“ i
Cette équation servira depuis r= o jusqu’à r=n — î, pourvu quel’on y change Y t dans F„, étant l’avantage des deux premiersjoueurs, au moment où ils entrent au jeu.
Si, au commencement de la partie, chacun des joueurs déposeau jeu une somme a, l’avantage du joueur (r) en sera augmentéde ( /i —i— i ). «, multiplié par la probabilité y r , que ce joueur gagnerala partie; mais il faut en ôter la mise a de ce joueur; il faut donc,pour avoir alors son avantage, augmenter l’expression précédentede de la quantité
(n -fi).« (i -p).p r _
2 _ p _ p «
Lorsque l’avantage de (r) devient négatif, il se change en désavan-tage.
12. Soit cj la probabilité d’un événement simple à chaquecoup, on demande la probabilité de l’amener i fois de suite dansle nombre x de coups.
Nommons z x la probabilité que cet événement composé aura lieuprécisément au coup x. Pour cela, il est nécessaire que l’évé-nement simple n’arrive point au coup x — i, et qu’il arrive dansles i coups suivants, l’événement composé n’étant point arrivéprécédemment. Soit alors P la probabilité que l’événement simplen’arrivera point au coup x — i — i. La probabilité correspondantequ’il n’arrivera point au coup x—i sera (i— q). P; et la probabi-lité correspondante que l’événement composé aura lieu précisé-ment au coup x sera (i — q).P. q‘ : ce sera la partie de z x corres-pondante à ce cas. Mais la probabilité que l’événement composéarrivera au coup x — i. est évidemment P. q‘; on a donc