272 THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

doit renfermer que la puissance i de t, puisque l’événement com-posé ne peut commencer à être possible qu’au coup i; de plus,le coefficient de cette puissance est la probabilité (j 1 , que cet évé-nement aura lieu précisément à ce coup.

En divisant la fonction génératrice précédente, par 1 — t, on aura

y 0-f

(-'>■•(■+

pour la fonction génératrice de la probabilité que l’événementcomposé aura lieu avant ou au coup x.

En développant cette fonction, on aura pour le coefficient det 1 *", la série

il-*—l

(f. [(l- ( j).x + l]

/ \ * si 2 ï ). (X 2 1 ■ i)r/ \ f ' \ 91

-9 •-- ^3 -.[(!-</).(*- 2 /- 2 )+ 3]

/ \, „■ (x —3i).(x —3i— i).(æ —3i —a) r , w • ...

■ (•-?)■ 9"- s - ,.,. 3 4 --■ , .[(i-,).(i-3 l -j) + 4]

etc.

la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à des facteursnégatifs. C’est l’expression de la probabilité que l’événement com-posé aura lieu au coup x-hi, ou avant ce coup.

Supposons encore que deux joueurs A et B, dont les adressesrespectives pour gagner un coup sont qr et i — q, jouent à cettecondition, que celui des deux qui aura le premier vaincu i foisde suite son adversaire gagnera la partie; on demande les pro-babilités respectives des deux joueurs pour gagner la partie pré-cisément au coup x.

Soitj* la probabilité de A, et y* celle de B. Le joueur A ne peutgagner la partie au coup x qu’autant qu’il commence ou recom-