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LIVRE DEUXIÈME.

t,, t 3 — ti étant supposés ne pas varier, cette équation n’est sus-ceptible que d’une combinaison. Mais si l’on fait varier à la foisf, et t„ et si l’on suppose que ces variables puissent s’étendre in-définiment depuis zéro, alors le nombre des combinaisons quidonnent l’équation précédente sera

s —(— 1 — t 3 — t k ... —;

car t, peut s’étendre depuis zéro, ce qui donne

t,= s — t 3 — ? 4 ... — f,,

jusqu’à s — t , — / 4 ...— f,, ce qui donne t 3 — o;les valeurs négativesdes variables f,, f, devant être exclues.

Maintenant, le nombre s-4-i — t 3 — t k ...— f, est susceptible deplusieurs valeurs, en vertu des variations de t 3 , f 4 , etc. Supposonsd’abord f t , t s , etc. invariables, et que t 3 puisse s’étendre indéfini-ment depuis zéro ; alors si l’on fait

S —|— 1 t 3 t 3 ... . t; — X ,

en intégrant cette variable dont la différence finie est l’unité, on

* [ jr* j \ #

v ' pour son intégrale; mais, pour avoir la somme de

aura

1 .‘2

toutes les valeurs de x, il faut, comme l’on sait, ajouter x à cetteintégrale; cette somme est donc j] f aut y f a j re x ég a f ^

sa plus grande valeur, que l’on obtient en faisant t 3 nul dans lafonction s-h î— 1 3 —f 4 — — f,-; ainsi le nombre total des combi-naisons relatives aux variations de t,, t 3 et t 3 , est

( J -

■U — t s — — tj).(s +1 — U —

1 .2

En faisant encore dans cette fonction

s -h 2 — t k — 1 3 -— U=x,

elle devient en l’intégrant depuis x=o, et en ajoutant