278 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,la fonction elle-même à cette intégrale, on aura —0 .

la valeur de x nulle répond à t i =s-{- 2—£ s — — £,, et sa plusgrande valeur répond à f, nul, et par conséquent elle est égale às H-2—— £,; en substituant donc pour x cette valeur dansl’intégrale précédente, on aura

(s +3 — / s —£ 6 .. . — £,•).(.? + 2 — / 5 — t f ... — /;)■(*■+'* — ti — £« • ■ ■ — ti}

1 . 2.3

pour la somme de toutes les combinaisons relatives aux variationsde £,, £,, £ 3 , f». En continuant ainsi, on trouvera généralement quele nombre total des combinaisons qui donnent l’équation (1), dansla supposition où les variables £,, £,,...£, peuvent s’étendre indéfi-niment depuis zéro, est

{■ s -H — 0 .(a'+ * — 2).(.v-H — 3 ).(s - 4 -1 ) / \

1 2 3 _(* —1) ’

Mais dans la question précédente, ces variables ne peuvent pass’étendre au delà de n. Pour exprimer cette condition, nous obser-verons que l’urne renfermant n-f-i boules, la probabilité d’extraire

l’une quelconque d’entre elles est ainsi la probabilité de

chacune des valeurs de £,, depuis zéro jusqu’à n, est La

probabilité des valeurs de £, égales ou supérieures à n =1 est nulle;on peut donc la représenter par ——, pourvu que l’on fassel=i dans le résultat du calcul; alors la probabilité d’une valeur

1 _/»— * 1

quelconque de £, peut être généralement exprimée par

pourvu qu’on ne fasse commencer l, que lorsque £, aura atteintn- 1, et qu’on le suppose à la fin, égal à l’unité : il en est demême des probabilités des autres variables. Maintenant la proba-bilité de l’équation (1) est le produit des probabilités des valeurs de

£,,£,, £3, etc. cette probabilité est donc ( ) ; le nombre des