310 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

partie soit gagnée par celui des deux joueurs qui, sur trois coups,aura vaincu deux fois son adversaire, le troisième coup n’étantpas joué, comme inutile, lorsque l’un des joueurs a vaincu dansles deux premiers coups.

La probabilité de A pour gagner la partie est la somme desdeux premiers termes du binôme [p —(— (1 —p)] 5 ; elle est par con-séquent égale à p s -4-3p’. ( 1 —p). Soit P cette fonction : en élevantle binôme P- b(i— P) à la puissance n , on aura, par l’analyseprécédente, la probabilité que sur le nombre n de parties, lenombre des parties gagnées par A sera compris dans des limitesdonnées. Il suffit pour cela de changer p en P dans la formule (o).

Si l’on nomme i le nombre des parties gagnées par A, la for-mule (o') donnera la probabilité que P sera compris dans leslimites

i T.\/ii .(n — i)

- - 1 -=-.

n n.\/n

Soit donc p la racine réelle et positive de l’équation

p 3 -^-3p 5 . (i p) —

en désignant par p'=j= Sp les limites de p, les limites correspon-dantes de P seront à très-peu près 3 p ' s —i p' 3 ~ 6p'. (i— p'). âp;en égalant ces limites aux précédentes, on aura

S JWHEL;

6p'. (i—p'j.n.yn

ainsi la formule (o ) donnera la probabilité que p sera comprisdans les limites

' — T.y 2 i. (n— i)

P 6p'. (i— p').n.yn

Le nombre n des parties ne détermine pas le nombre des coups,