314 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,la probabilité que la valeur de x sera contenue dans les limites

est

n P

r

(p + 7).c«

c n

l’intégrale étant prise depuis (x = o.

Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boulesblanches contenues dans l’urne A, après r tirages. Cette valeur estla somme de tous les nombres possibles de boules blanches, mul-tipliés par leurs probabilités respectives; elle est donc égale à

2 n p

r

( p+q)-c n

l’intégrale étant prise depuis p=o jusqu’à p,=oo. Cette valeurest ainsi

n P

r ’

(/;+</).c"

par conséquent, elle est la même que la valeur de x la plus pro-bable.

Considérons maintenant deux urnes A et B renfermant chacunele nombre n de boules, et supposons que dans le nombre total2 n des boules, il y en ait autant de blanches que de noires. Con-cevons que l’on tire en même temps une boule de chaque urne,et qu’ensuite on mette dans une urne la boule extraite de l’autre.Supposons que l’on répète cette opération un nombre quelconquer de fois, en agitant à chaque fois les urnes, pour en bien mêlerles boules ; et cherchons la probabilité qu’après ce nombre r d’opé-rations il y aura x boules blanches dans Purne A.