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LIVRE DEUXIÈME.

Soitz I>r cette probabilité. Le nombre des combinaisons possiblesdans r opérations est n tr ; car à chaque opération, les n boules del’urne A peuvent se combiner avec chacune des n boules de l’urneB, ce qui produit n‘ combinaisons; n' r .z xr est donc le nombre descombinaisons dans lesquelles il peut y avoir x boules blanchesdans l’urne A après ces opérations. Maintenant, il peut arriverque l’opération (r-f-i lasse sortir une boule blanche de l’iu neA , et y lasse rentrer une boule blanche; le nombre de cas danslesquels cela peut arriver est le produit de n ,r .z xr par le nombre xdes boules blanches de l’urned, et par le nombre n—x des boulesblanches qui doivent être alors dans l’urne B, puisque le nombretotal des boules blanches des deux urnes est n. Dans tous ces cas,il reste x boules blanches dans l’urne A; le produit a:, (n— x).n".z xrest donc une des parties de n iM .z x ^,.

Il peut arriver encore que l’opération (r+i)“"“ fasse sortir etrentrer dans l’urne A une boule noire, ce qui conserve dans cetteurne x boules blanches. Ainsi n—x étant après l’opération r' ime ,le nombre des boules noires de l’urne A, et x étant celui desboules noires de l’urne B , ( n—x).x. n".z xr est encore une partiede n' M .z XiM .

S’il y a x —1 boules blanches dans l’urne A après l’opération r ,tme ,et que l’opération suivante en fasse sortir une boule noire, et yfasse rentrer une boule blanche, il y aura a; boules blanches dans1 urne A après 1 opération (r+i)"* me ; le nombre des cas dans les-quels cela peut arriver est le produit de n' r . par le nombren—x +1 des boules noires de l’urne A après le tirage r Ume , et parle nombre n — x-h î des boules blanches de l’urne B, après lamême opération; («— x-hi)‘.n ,r . z x _ lr est donc encore une partiede n iM .z xr ^ l .

Enfin, s il y a x + \ boules blanches dans l’urne A après l’opé-ration r ume , et que l’opération suivante en fasse sortir une bouleblanche, et y fasse rentrer une boule noire, il y aura encore,

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