316 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

après cette dernière opération, x boules blanches dans l’urne. Lenombre des cas dans lesquels cela peut arriver est le produit den’ r .z x + l<r par le nombre x+\ des boules blanches de l’urne A, etpar le nombre x+\ des boules noires de l’urne B après l’opé-ration r iéme ; (x+i)\n- r . z x + lr e st donc encore une partie de n iM .z xr ^.

En réunissant toutes ces parties, et en égalant leur somme àn t " , '\z cr ^,, on aura l’équation aux différences finies partielles,

i-hi ,r

Quoique cette équation soit aux différences du second ordrepar rapport à la variable x, cependant son intégrale ne renfermequ’une fonction arbitraire qui dépend de la probabilité des diversesvaleurs de x, dans l’état initial de l’urne A. En effet, il est visible«pie si l’on connaît les valeurs de z xfi correspondantes à toutes lesvaleurs de x, depuis x = o jusqu’à x=n, l’équation précédentedonnera toutes les valeurs de z x>1 , z Xjl , etc. en observant que lesvaleurs négatives de x étant impossibles, z xr est nul lorsque x estnégatif.

Si n est un très-grand nombre, cette équation se transformedans une équation aux différences partielles que l’on obtient ainsi.On a alors, à très-peu près,

i

Soit

x —

n\/n ,

—- , r=nr,

z, t - f y