318 THÉORIE ANALYTIQUE DES. PROBABILITÉS.

étant une fonction arbitraire de —r ; on a donc

c 1

Soi t

— ut

■il*

t — 2(l-+-2S\/ - 1 ,

l’expression de U prendra cette forme,

U-—c ** .fds.c * .r

i—p V—i

(A)

Il est facile de voir que l’équation précédente, aux limites de l’in-tégrale, exige que les limites de l’intégrale relative à 5 soientprises depuis s = — oo jusqu’à s = oo. En prenant le radical\J —î, avec le signe —, on aurait pour U une expression de cetteforme,

l

la fonction arbitraire 11(5) pouvant être différente de T (s). Lasomme de ces deux expressions de U sera sa valeur complète;mais il est facile de s’assurer que les intégrales étant prises de-puis s — — 00 jusqu’à 5 = 00, l’addition de cette nouvelle expres-sion de U n’ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelleelle est comprise.

Développons maintenant le second membre de l’équation (A),suivant les puissances de ^7-, et considérons un des termes de cedéveloppement, tel que

//«.c-f * 5

.fds.c S .{s — (x\ /< —î)*';