326 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

ë' diminuant sans cesse quand r augmente, la valeur de Uvarie sans cesse, et devient à sa limite, lorsque r est infini,

Tl 2 -(*’

b = —_. c

V « 7 J-

Pour donner une application de ces formules, imaginons dansune urne C, un très-grand nombre m de boules blanches, et unpareil nombre de boules noires. Ces boules ayant été mêlées,supposons que l’on tire de furne, n boules que l’on met dansl’urne A. Supposons ensuite que l’on mette dans l’urne B autantde boules blanches qu’il y a de boules noires dans l’urne A, etautant de boules noires qu’il y a de boules blanches dans la mêmeurne. Il est clair que le nombre des cas dans lesquels il y aurax boules blanches, et par conséquent n — x boules noires dansl’urne A, est égal au produit du nombre des combinaisons desm boules blanches de l’urne C, prises x à x, par le nombre descombinaisons des m boules noires de la même urne, prises n — x àn — x. Ce produit est, par le n° 3, égal à

m.(m — i ).(/«—2)...(m — x + i) m.(m—1 ).(/«—2 ).. .{m—n-r-x-+ 1)

1 .2. 3 .. .x ' I. 2 . 3 .. .(n—x) ’

ou à

(i. 2.3.. .m) 5

1. 2 . 3 ... x. 1. 2 . 3 .. .(n — x). 1. 2 . 3 .. .(m—x). 1.2. 3 .h + x)

Le nombre de tous les cas possibles est le nombre des combinai-sons des 2 m boules de l’urne C, prises n à n: ce nombre est

1.2. 3 ... 2 m

1. 2 . 3 . .. n. 1.2. 3 .. . (2 m—n)

en divisant la fraction précédente par celle-ci, on aura, pour laprobabilité de x, ou pour la valeur initiale de li,

(1. 2.3 ..m)’. 1.2. 3 ...n. 1.2. 3 ...(2 m — n)

1.2. 3 ... a;. 1.2. 3 ...(m — x). 1. 2 . 3 ... (n — x). 1. 2 . 3 ... (m—n-f-x). 1.2.3... 2 m