330 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

blanches, multipliées parleurs probabilités respectives; elle estdonc égale à l’intégrale

J

. U.

diM.\Jn

2

prise depuis fi= — oo jusqu’à {i = oo. En substituant pour U savaleur donnée par la formule (/.), on aura, en vertu des théorèmesprécédents, pour cette intégrale,

A l’origine où r est nul, cette valeur est \n -+- ^-.L (0) ; ainsi l’on

aura L {0) au moyen du nombre des boules blanches que l’urne Acontient à cette origine.

On peut obtenir fort simplement, de la manière suivante, lavaleur moyenne du nombre des boules blanches, après r tirages.Imaginons que chaque boule blanche ait une valeur que nousreprésenterons par l’unité, les boules noires étant supposées n’a-voir aucune valeur. Il est clair que le prix de l’urne A sera lasomme des produits de tous les nombres possibles de boulesblanches qui peuvent exister dans l’urne, multipliés par leursprobabilités respectives ; ce prix est donc ce que nous avonsnommé valeur moyenne du nombre des boules blanches. Nommons-le z,après le tirage r ,éme . Au tirage suivant, s’il sort une boule blanche,ce prix diminue d’une unité; or si l’on suppose que x est le nombredes boules blanches contenues dans l’urne après le tirage r' ime , la

• • > • JC

probabilité d’en extraire une boule blanche sera — ; en nommant

n CU t dx

donc U la probabilité de cette supposition, l’intégrale I—-—,

étendue depuis a; = o jusqu’à x=n, sera la diminution de 2 , ré-sultante de la probabilité d’extraire une boule blanche de l’urne.

Si l’on fait, comme ci-dessus, —=r, et si l’on désigne la fractiontrès-petite - par dr, cette diminution sera égale à zdr, car z est