LIVRE DEUXIÈME. 351

positif; c’est ce que l’on fait dans la méthode ordinaire. Alorsle résultat moyen des observations est

S. «w

sTj&'

et l’erreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, est

S. p w

mais cette erreur surpasse la précédente qui, comme on l’a vu,est la plus petite possible. On peut s’en convaincre d’ailleurs decette manière. Il suffit de faire voir que l’on a l’inégalité

ou

Vi

s. p®

i

y's> w ’ ’

s.s.p {,) ' > [s.pvy.

En effet, 2 pp [l) est moindre que p’-f-p 10 ’, puisque (p w — p)' estune quantité positive; on peut donc, dans le second membre del’inégalité précédente, substituer pour 2 pp (1) , p*-t-p (,)1 — j, j étantune quantité positive. En faisant des substitutions semblablespour tous les produits semblables, ce second membre sera égalau premier, moins une quantité positive.

Le résultat

S. p® a (i >

~ = S. p«* '’

auquel correspond le minimum d’erreur moyenne à craindre, estcelui qui donne la méthode des moindres carrés des erreurs desobservations; car la somme de ces carrés étant

(p. z — a)’-h(p (,) .z—a w )\ .. -+- (p (,_,) . z — a !s ,) ) a ;

la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier z,