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LIVRE DEUXIÈME.

observations. La somme des puissances 2 n des erreurs sera.S'. (a (,) — p {,) .z) in , le signe S s’étendant à toutes les valeurs de i. Onpeut supposer, dans cette somme, toutes les valeurs de p {i) posi-tives; car si l’une d’elles était négative, elle deviendrait positiveen changeant, comme on peut le faire, les signes des deux termesdu binôme élevé à la puissance 2 n, auquel elle correspond. Noussupposerons donc les quantités a— p .z, a (1) — p [l) .z, a w —p (,) .z, etc.disposées de manière que les quantités p,p { '\p [i \ etc. soient po-sitives et croissantes. Cela posé, si 2 n est infini, il est clair quele plus grand terme de la somme S. (a (l) —p (,) .z) 3n , sera la sommeentière , à moins qu’il n’y ait un ou plusieurs autres termes quilui soient égaux, et c’est ce qui doit avoir lieu dans le cas duminimum de la somme. En effet, s’il 11’y avait qu’une seule quan-tité la plus grande, abstraction faite du signe, telle que a (,) — p [i) .z,on pourrait la diminuer en faisant varier z convenablement, etalors la somme 5 . (a 1 ' 1 —p (,) .z) 2n diminuerait et ne serait pas unminimum. Il faut de plus que si a (,) —p (I) .zeta ( ' ,) — p [i ' ] .z sont, abs-traction faite du signe, les deux quantités les plus grandes et égalesentre elles, elles soient de signe contraire. En effet, la somme(a {,) — p (l) z) 2 n -(-(a ,1 ' ) — p {,,} .z) in devant être alors un minimum, sadifférentielle —2 ndz. [p (i) . (a (,) — p {!) .z) ,n ~ l -+~p {i ' } . (a (,V) — p {i ' ] .z) ln -' ]doit être nulle, ce qui ne peut être lorsque n est infini, que dansle cas où a (,) — p [,) .z et a (,,) —p (,,) .z sont infiniment peu différents,et de signe contraire. S’il y a trois quantités les plus grandes, etégales entre elles, abstraction faite du signe, on verra de la mêmemanière que leurs signes ne peuvent être les mêmes.

Maintenant, considérons la suite

a (, ~ 1 ) — p [s ~ l) .z, a 11 - * 1 —a (, ~ 5 ) — p ls ~ s) . z ,... a— p.z, (0)

— a-hp.z, .— Zf —a (,_,) -t-p (j_i) .z,— a. (s - ,) -+-p (, ~ ,) . z.

Si l’on suppose z = — 00, le premier terme de la suite surpasseles suivants, et continue de les surpasser en faisant croître z jus-

TOME VII. 48