408 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

On verra facilement que ce résultat s’accorde avec celui que nousavons trouvé dans le numéro 16, par une analyse moins directeque celle-ci.

La partie finit en deux coups, si A ou B gagne les deux pre-miers coups, le troisième coup n’étant pas joué, parce qu’il devientinutile. Ainsi les nombres des parties gagnées par l’un et l’autredes joueurs n’indiquent pas le nombre des coups joués, mais ilsindiquent que ce dernier nombre est contenu dans des limitesdonnées, avec une probabilité qui croît sans cesse, à mesure queles parties se multiplient. La recherche de ce nombre et de cetteprobabilité étant très-propre à éclaircir l’analyse précédente, nousallons nous en occuper.

La probabilité que A gagnera une partie en deux coups esta; 8 ,x exprimant, comme ci-dessus, sa probabilité de gagner à chaquecoup. La probabilité qu’il gagnera la partie en trois coups est2 .t*.( i—a ). La somme x'.(3 — o.x) de ces deux probabilités est laprobabilité que A gagnera la partie. Ainsi, pour avoir la probabi-lité que sur i parties gagnées par le joueur A, s seront de deuxcoups, il faut élever à la puissance i le binôme

x 1

x‘.(3 —2 x)

2X S . (l — x)X*.(3 — 2 x) ’

ou

1

3 — 21

2 .( 1 — x)

3 — 21 ’

et le terme i — s-h i du développement de cette puissance seracette probabilité, qui est ainsi égale à

i .2.3.... i. 2 * *.(i — x)‘- J1 .2.3.... S. 1 .2.3....(i — s).(3 — 2x) 1-

Le plus grand terme de ce développement est, par le n° 16, celuidans lequel les exposants s et i—s du premier et du second terme