450 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.Si l’on fait

la première puissance de m disparaît ; et de plus, n étant supposéun très-grand nombre, on peut s’arrêter à la seconde puissancede 'ts; la fonction (i) devient ainsi, en repassant des logarithmesaux nombres,

—. fd'n r.

27T J

, _ (kk"—k")

/-ct y — i — n. --.aV

Si l’on fait

€■ =

A’

2(AA"-A'*)’

azs

■V«

2g

1

— ^a.\Jn

cette intégrale devient, en la prenant depuis t= — oo jusqu’àt = oo,

e u*

g a’n .

-= • c

n.\J mt

En la multipliant par dl, et faisant l = ar.\Jn, on aura

— evc

pour la probabilité que la somme des âges auxquels les n enfantsparviendront sera comprise dans les limites ncfli dt ar.\/n.

La quantité a*k' ou J'x . ^ {^j est la somme des produits de

chaque âge, par la probabilité d’y parvenir; elle est donc la vraiedurée de la vie moyenne; ainsi la probabilité que la somme desâges auxquels les n enfants cesseront de vivre, divisée par leurnombre, est comprise dans ces limites

d r

Vraie durée de la vie moyenne, plus ou moins ——,

\'n