THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

parvenus à l’àge x, ont péri dans l’intervalle de temps \x, par lamaladie dont il s’agit; on aura à très-peu près l’intégrale fzdx, ensupposant \x égal à une année, et en prenant depuis la naissancedes n enfants que l’on a considérés, jusqu’à l’année x, la sommedes fractions qui ont pour numérateur le nombre des individusque la maladie a fait périr chaque année, et pour dénominateurle nombre des n enfants qui vivent encore au milieu de la mêmeannée. Ainsi l’on pourra transformer, au moyen de l’équation (3),une table de mortalité ordinaire dans celle qui aurait lieu si lamaladie dont il s’agit n’existait pas.

La petite vérole a cela de particulier, savoir, que le même in-dividu n’en est jamais deux fois atteint, ou du moins ce cas est sirare, que s’il existe, on peut en faire abstraction. Concevons quesur un très-grand nombre n d’enfants, u parviennent à l’âge x, etque dans le nombre u,y n’aient point eu la petite vérole. Con-cevons encore que sur ce nombre y, iydx prennent cette maladiedans l’instant dx, et que sur ce nombre, ir.ydx périssent de cettemaladie. En désignant, comme ci-dessus, par <p la probabilité depérir à l’âge x par d’autres causes, on aura évidemment

du = — uÇ>. dx — ir.ydx.

On aura ensuite

dy = — y 0. dx — iydx.

En effet, y diminue par le nombre de ceux qui, dans l’instant dx,prennent la petite vérole, et ce nombre est, par la supposition,iydx; y diminue encore par le nombre des individus compris dansy, qui périssent par d’autres causes, et ce nombre est y(pdx.

Maintenant, si de la première des deux équations précédentes,multipliée par y, on retranche la seconde multipliée par n, et sil’on divise la différence par y’, on aura

d. — = i. — ■ dx — irdx,

y y