462 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,l’intégrale étant prise depuis r= o, et le dernier terme pouvantêtre négligé. On voit par cette formule que si qv —1 — q. fi n’estpas nul, le bénéfice réel augmente sans cesse, et devient infinimentgrand et certain dans le cas d’un nombre infini d’événements.

On peut étendre, par l’analvse suivante, ce résultat au cas oùies probabilités des s événements sont différentes, ainsi que lesbénéfices et les pertes qui y sont attachés. Soient q, q {,) , q {1) ... q {a ~ l)les probabilités respectives de ces événements; v, v {1 \ i> (,) ...les bénéfices que procurent leurs arrivées. On peut, pour sim-plifier, faire abstraction des pertes que causent leurs non-arrivées,en comprenant dans le bénéfice que procure l’arrivée de chaqueévénement, la quantité que .4 perdrait par sa non-arrivée, et enretranchant ensuite de l’avantage total de A la somme de ces der-nières quantités; car il est facile de voir que cela ne change pointla position de A.

Cela posé, considérons le produit

-h ,1-0.

Il est clair que la probabilité que la somme des bénéfices sera f+l,

est égal au coefficient de c (f ^ l ' ) ‘ aK/ ~' dans le développement dece produit; elle est donc égale à

— .fd'B.c-^^-'.ii — q^-q.e'^- 1 )....

2 7T ”

— (a)

l’integrale étant prise depuis us=—n jusqu’à 'us—Tt, et les nombresv, r (l) , etc. étant supposés, comme on peut le faire, des nombresentiers. Prenons le logarithme du produit

n —/«V —

'•(i —q+q-

j\/—i

)...(i - 7

(*->)_