464 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,la probabilité que le bénéfice de A sera compris dans les limites

S. (]^ } v {i> =b r. sJïS.q^.^i — (j {i) y v {,) \est

2 /'j — t *

——.Jdr.c ,

\/7T

l’intégrale étant prise depuis r=o.

Maintenant il faut, par ce qui précède, changer dans les limitesprécédentes, v [l) dans v {!) H-(x (0 , et en retrancher S. (x (,) ; la proba-bilité que le bénéfice réel de A sera compris dans les limites

—(1 — < 7 (,) ).fd°) ± r. Y^ 2 S. (] {i) .( 1 — <jf (,) ). (v {,) H-

est donc

\J Tl

y.fdr.

On voit par cette formule que, pour peu que l’espérance mathé-matique de chaque événement surpasse zéro, en multipliant lesévénements à l’infini, le premier terme de l’expression des limitesétant de l’ordre s, tandis que le second n’est que de l’ordre \Js,le bénéfice réel s’accroît sans cesse, et devient à la fois infinimentgrand et certain dans le cas d’un nombre infini d’événements.

39. Considérons maintenant le cas où, à chaque événement, lapersonne A a un nombre quelconque de chances à espérer ou àcraindre. Supposons, par exemple, qu’une urne renferme desboules de diverses couleurs; que l’on tire une boule de cette urne,en la remettant dans l’urne après le tirage, et que le bénéfice deA soit v, si la boule extraite est de la première couleur; qu’il soitv', si la boule extraite est de la seconde couleur ; qu’il soit v", si laboule extraite est de la troisième couleur, et ainsi de suite ; lesbénéfices devenant négatifs, lorsque A est forcé de donner au lieude recevoir. Nommons a, a, a, etc. les probabilités que la boule