LIVRE DEUXIEME.

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l’intégrale étant prise depuis t= o; /c s étant égal à

2 ns.(m —n).(m+s)in*

Mais —.s —f— z étant le nombre des événements arrivés, le bénéficem

réel de A est

/ nv

y m

( m — n ). (x\

m

l’intégrale précédente est donc la probabilité que le bénéfice réelde A sera compris dans les limites

nv

m

(m — n\ u\ , , , \

A est de l’ordre \fs, si m et n sont d’un ordre égal ou plus grandque s; ainsi, quelque petite que soit l’espérance mathématiquerelative à chaque événement, le bénéfice réel devient à l’infinicertain et infiniment grand, lorsque le nombre des événementspassés est supposé infini, comme celui des événements futurs.

40. Nous allons maintenant déterminer les bénéfices des éta-blissements fondés sur les probabilités de la vie humaine. La ma-nière la plus simple de calculer ces bénéfices est de les réduireen capitaux actuels. Prenons pour exemple les rentes viagères.Une personne de l’âge A veut constituer sur sa tête une renteviagère h; on demande le capital qu’elle doit, pour cela, donnerà la caisse de l’établissement qui lui fait cette rente.

Si l’on nomme j 0 le nombre des individus de l’âge A, dans latable de mortalité dont on fait usage, et y x le nombre des individusde l’âge A-\-x; la probabilité de payer la rente à la fin de l’année

y

A-+-x, sera — ; par conséquent, la valeur du payement sera

h . v æ a y ®

— * • Mais si l’on désigne par r l’intérêt annuel de l’unité, en

y o

sorte que le capital î devienne î -+- r après un an ; il deviendra

59 .