468 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

(î+r) 1 après x années; ainsi le payement (i-4-r) 1 fait à la fin dela x*™ année, réduit en capital actuel, devient l’unité, ou ce même

payement divisé par (i-t-r) x ; le payement réduit en capital

h -y*

actuel est donc

7»

y somme de tous les payements faits

pendant la durée de la vie de la personne qui constitue la rente,et multipliés par leur probabilité, équivaut donc à un capitalactuel représenté par l’intégrale finie

h -y*

2 .

Jo-O+r)*’

la caractéristique 2 devant embrasser toutes les valeurs de lafonction qu’elle affecte.

On peut déterminer cette intégrale en formant toutes ces va-leurs d’après la table de mortalité, et en les ajoutant ensemble:on déduira ensuite les capitaux les uns des autres, en observantque si l’on nomme F le capital relatif à l’âge A, et F' le capitalrelatif à l’âge A- f- 1 , on a

F= r F'+h

Je ■ 1 4- r ■

Mais ce procédé se simplifie lorsque la loi de mortalité est connue,et surtout lorsqu’elle est donnée par une fonction rationnelle etentière de x, ce qui est toujours possible, en considérant lesnombres de la table de mortalité comme des ordonnées dont lesâges correspondants sont les abscisses, et en faisant passer unecourbe parabolique par les extrémités des deux ordonnées ex-trêmes, et de plusieurs ordonnées intermédiaires. Les différencesqui existent entre les diverses tables de mortalité permettent deregarder ce moyen comme aussi exact que ces tables, et mêmede s’en tenir à un petit nombre d’ordonnées.

Faisons

Jx

y*

= «;

i

=P>