472 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

ment que tous ces établissements doivent, pour prospérer, seréserver un bénéfice et multiplier considérablement leurs affaires,afin que, leur bénéfice réel devenant presque certain, ils soientexposés le moins qu’il est possible, à de grandes pertes qui pour-raient les détruire. En effet, si le nombre des affaires est s, et sil’avantage de l’établissement dans chacune d’elles est b; alors ildevient extrêmement probable que le bénéfice réel de l’établisse-ment sera sb, s étant supposé un très-grand nombre.

Pour le faire voir, supposons que s personnes de l’âge A cons-tituent, chacune sur sa tête, une rente viagère h, et considéronsune de ces personnes que nous désignerons par C. Si C meurtdans l’intervalle de la fin de l’année x écoulée depuis la constitu-tion de sa rente, à la fin de l’année a;-f-i; l’établissement lui aurapayé la rente h pendant x années, et la somme de ces payements,réduite en capital actuel, sera /i.(p-b/A.. .-4 -p x ) ou 1..hp M ; or

la probabilité que C mourra dans cet intervalle est ^ x ^ x - , ou

A y >, •

- • la valeur de la perte que l’établissement doit alors sup-

A y

porter est donc-2. hp x *\ La somme de toutes ces pertes

J»

est

, (r)

c’est le capital que C doit verser à la caisse de l’établissement,pour en recevoir la rente viagère h. On j>eut observer ici que l’on a

— A. j*. S . p x ~ l = —y x ^. S . p M -h• p x -+-y x - f •

en intégrant le second membre de cette équation, la fonction (r)se réduit à

— 2. hp x constante;

j. 1 y o

or 2.p x se réduit à zéro, lorsque x = i; et lorsque x — n-\-\, y x