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LIVRE DEUXIÈME.

C’est à cela que se réduit le principe de Daniel Bernoulli , prin-cipe qui, comme on vient de le voir, fait coïncider les résultatsdu calcul avec les indications du sens commun, et qui donne lemoyen d’apprécier avec quelque exactitude, ces indications tou-jours vagues. Son application au problème dont on vient de parlerva en fournir un nouvel exemple.

Nommons a la fortune de B avant le jeu, et x ce qu’il donneau joueur A. Sa fortune devient a — x-+- 2 , si croix arrive au pre-mier coup; elle devient a—x -h 2% si croix arrive au second coup,et ainsi de suite jusqu’au coup n, où elle devient a — x-h2 n , sicroix n’arrive qu’au coup n' eme . La fortune de B devient a — x, sicroix n’arrive point dans les n coups, après lesquels la partie est

supposée finir; mais la probabilité de ce dernier événement est^.

En multipliant les logarithmes de ces diverses fortunes par leursprobabilités respectives et par k, on aura, par ce qui précède, lafortune morale de B, en vertu des conditions du jeu, égale à

^.h. log. (a — x- 4-2) h- ^.Uog.(a — x+-2>) .

log.(a — .a-H2 n )-f- k. log.(a x) H- log. h.

Mais avant le jeu, sa fortune morale était k. log. a log. h; en éga-lant donc ces deux fortunes, pour que B conserve toujours lamême fortune morale, et repassant des logarithmes aux nombres,

on aura, a—x étant supposé égal à a, et faisant^, =tx,

1 1 1

i-+-ax= (i-f-2a) 2 . (i-+-2 s .a ) 2 ....(i-t-2 n .a ) 2 ; (0)

1 1

les lacteurs (ih-2<x) 2 , (i-}-2 ! a ] 2 vont en diminuant sans cesse,et leur limite est l’unité; car on a

l 1

(i-j- 2 '.a) 2 ’> (i-|- 2 ‘‘ t ' 1 .a) 2 ‘^'.

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