'192 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Maintenant, pour avoir la probabilité de la sortie du numéroi, on doit faire une somme de toutes les probabilités précédentes,relatives à cette sortie, et la diviser par la somme de toutes cesprobabilités; ce qui donne pour cette probabilité,

EL ( 1 ~/ J )-( 1 ~ r )

n n.(n—i)

P r , P-{ l ~ r ) , L-p)- r , (»-/»)•( i^j ’

n n n n

(1—/j).( i — r)ou pr- 4- --

1 n— î

Si r est égal à l’unité, ou si le témoin ne se trompe point, laprobabilité de la sortie du numéro i sera p, c’est-à-dire la pro-babilité de la véracité du témoin.

Si n est un très-grand nombre, cette probabilité sera à très-peu près pr, ou la probabilité de la véracité du témoin, multipliéepar la probabilité qu’il ne se trompe point.

Nous avons supposé que l’erreur du témoin, lorsqu’il se trompe,peut également tomber sur tous les numéros non sortis; maiscette supposition cesse d’avoir lieu si quelques-uns d’eux ont plusde ressemblance que les autres avec le numéro sorti, parce quela méprise à leur égard est plus facile. Nous avons encore supposéque le témoin, lorsqu’il trompe, n’a pas de motif pour choisir unnuméro plutôt qu’un autre; ce qui peut ne pas avoir lieu. Mais ilserait très-difficile de faire entrer dans une formule toutes cesconsidérations particulières.

45. Supposons maintenant que l’urne contienne n — i boulesnoires et une boule blanche, et qu’en ayant extrait une boule, untémoin du tirage annonce la sortie d’une boule blanche. Détermi-nons la probabilité de cette sortie. Nous formerons les mêmeshypothèses que nous venons de faire. Dans la première, la pro-

habilité de la sortie de la boule blanche est, comme ci-dessus, -—.

n