ADDITIONS.

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Il est visible, par ce qui précède, que u, se réduit à l’unité, lorsques est infini, ce qui donne A (0) = 1 . De là, on tire

u,= i

r

r.3>

+

'.3*. 5*

+ etc

4 . 5+1 4’. 1 . 2 . 5 + 1.5 + 2 4 S . 1 .2 . 3.5 + 1 . 5 + 2 . 5+3

= y*-\

y s —.

Le rapport du terme moyen du binôme au binôme

entier, est

5 + 1 . 5+2 . 25

2 ”. 1 . 2.3 . 5

ou

1 . 3.5 . 25 — 1

2 . 4 . 6 . 25

En nommant donc T ce terme moyen, la formule (B) donnera

y, __ _

5 TT. U,

Ce théorème et l’expression précédente de u, en série sont dusà Stirling, et l’on voit comme ils se rattachent au théorème et àl’analyse de Wallis. Cette valeur de T' peut servir à déterminerpar approximation le rapport de la circonférence au diamètre,ce qui était l’objet de Wallis; ou, ce rapport étant supposé connu,elle donne le terme moyen du binôme, ce qui était l’objet deStirling.

II.

L’expression de A". s‘ donnée par la formule (f/) du n° 40 du

premier livre a été conclue de l’expression de A". en changeant

dans celle-ci i en — i. Ce passage du positif au négatif est ana-logue aux inductions que Wallis et d’autres géomètres ont si heu-reusement employées. Tous ces moyens d’invention, qui tiennentà la généralité de l’analyse, exigent dans leur usage une grande

65 .