93

Anmerk u n g. Mehrerer Allgemeinheit wegen kann man statt der Größe 2 *•. dienur dem Kreis zugehört, eine andere A sehen, welche denn das Verhältniß desUmfanges stder andern Figur ausdruckt, die aber aus angeführten Gründenebenfalls weggelassen werden kann.

Nun kommt es darauf an, aus der gefundenen Gleichung die Größe <p zu finden,wovon in jener nur das Differential vorkommt; dieses kann aber am bequemste» durcheinen logarithmischen Ausdruck geschehen. Um dieses zu verstehen merke man folgendes:

Man trage auf eine gerade Linie Fig. 9 . eine beliebige Anzahl gleicher Theile ab, bc,cd, 11. f. ro. in einen der Theilungspunkte, z. B. in d richte man eine Lnne di von willkührrlicher Länge auf; durch a und i ziehe man die Linie ai, ferner ziehe man durch den folgendenTheilungspunkt e die Linie ek mit di parallel, bis sie die verlängerte ai ju k schneidet;auch ziehe man durch b und k die Linie bk. Eben so ziehe man durch f die Linie 51,mir d'i parallel, bis sie bk schneidet; auch ziehe man cl, und so fahre man weiter fort;die durch, die Punkte i,k, 1 , m, 11 rc. gehende krumme Linie wird die logarithmische Liniegenannt. Sind die Theile ab, bc. u. s. w. unendlich klein, so werden es auch die Stückeck, kl, lm seyn, folglich mit der krummen Linie zusammen falle»; ai, bk, cl. rc. sinddann Tangenten, und ad.be, cf. k. Subtangenten, welche letztere alle einander gleichsind, wie die Figur zeigt. Ferner sind de, d5, dg Abscissen, und ek, 51, gm. rc.zugehörige Ordinate. Wenn man die Figur genau betrachtet, so siehet man bald, daßdie Abscissen in einer arithmetischen Proportion, die zugehörigen Ordinate» aber ingeometrischer Proportion fortgehen; denn es ist in den ähnlichen Dreyecken adi undaek. ad:ae —di: ek. Eben so in den Dreyecken bek und b51. be: b5=ek;51. ; aber es tfi b e = ad und b5= ae, also ist auch ad: ae = ek : 51. mithin di:ek = ek: 51. also gehen die Ordinate» in geometrischer Proportion fort, während dieAbscisse, wie gleich der Augenschein giebt, in arithmetischem Verhältniß fortschreiten.Da nun die Logarithmen der natürlichen Zahlen mit diesen in dem nämlichen Verhältnißstehen, wie hier die Abscissen mit ihren Ordinate»; so kann man diese als natürlicheZahlen, jene aber als zugehörige Logarithmen betrachten.

Es sey nun die Subtangente ad — dg — a; die Abscisse ag— x ein unendlichkleines Theilchen wie gb von ihr — dx. Man ziehe mo wit ah parallel, so ist auchmo — dx.; ferner sey eine Ordinate wie gm = y und no — dy, so hat man in denähnlicheuDreyecken dgm und mno. dg: gm = mo: no. das ist a: y = dx: dy;

daraus folgt dx — und wenn mau a — 1 setzt, dx — ^ Das Integral hiervonist /dx =/ Q —-j also x — / — aber x ist gleich dem Logarithmus von y, folglich

**=/(£>

Kommt demnach eine Differentialgleichung vor, wo das Differential des Nennersden Zähler ausmacht, so ist der Logarithmus des Neuners das Integral der Gleichung.