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dem Kreis aber ist das Produkt einer Abscisse, in dem Durchmesser weniger dieser Abscissegleich dem Quadrat der Zugehörigen Ordinate: man hat also hier x (aHf-b — x ) = y 2— (a + b) X — X 2 . L-cht mau diesen Werth von y 2 in obige Formel, die für jedekrumme Linie brauchbar ist, so wird sse nun besonders der Kreislinie angepaßt seyn.Wenn man nun in obiger Formel die Größe (a —x) 2 wirklich zum Quadrat erhebt,und den Werth von y 2 substituier, so erhält man

dch —dx. l(a 2 — ::ax+x 2 -j-ax-f-bx— x 2 )r — dx. l(a— x) ;

oder wenn man, was sich aufhebt, auöstreicht

d <p = d x 1 (a 2 — ax + b x)r — d x 1 (a — x).

Um das Integral dieser Formel zu finden, kommt es darauf an, jeden Theil besonderszu inlegriren. Ferner kann man eine Formel, wie die gegenwärtige, allgemein und kurzunter dieser Form dx. Ix vorstellen.

Um diese zu integriren, bemerke man: Wenn Ix eine beständige Größe wäre, sofände man leicht /dxlx = xlx; da aber Ix ebenfalls eine veränderliche Größe ist, sofehlt in der Gleichung, wenn sie anders eine vollständige Differenlialgleichung seyn soll,noch das Produkt deö Differentials dieser zweyten veränderlichen Größe, in die erstere;nämlich des Differentials von Ix in x. Nun erinnere mau sich aus dem obigen (N°. I.)

daß überhaupt =lx, folglich dlx= ^ seye: also ist das Differential von

ä x

Ix = — und das Produkt in X

x d x

X

Die vollständige Gleichung wäre alsodx. lx-f und hiervon wäre nun das Integral /dx Ix -f.yiüL? — x lx, folglich

wird s dxlx = xlx — aber das Integral von diesem lehren Theil, oder

J J X X

— x (1 x - — — also ist s dxlx = xlx —— das gesuchte Integral.

L X d X 2 J 2

Wendet man dieses auf unsere vorliegende Gleichung an, und integrirt jeden Theilderselben besonders, so bekommt die Sache folgende Gestalt:

Man nehme den Theil dx. l(;\ 2 -ax + bx)l zuerst vor, und sehe Kürze halber(a 2 — ax + bx)i = v /' (a 2 — ax + bx) = u, so ist a 2 — ax + bx = u 2 ; hieraus

U ^ 2

suche man x allein, so erhält man bx — ax — n 2 — a 2 und x —. Dlfferenriirt

, (b —a)cudu— (u* — a 2 )o (b — a)2udu

man diese Gleichung, so erhalt mait dx=- —aj* -— —^ — a) 3 —“

Diesen Werth von dx in unsere Gleichung gesetzt, giebt dxl(a 2 — ax-fbx)»= r” lu. Wäre hier In eine beständige Größe, so würde