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II. Teil: Wissenschaftliche Vorträge.

droite, plan,.. . *) 'et les propriétés de ces éléments forment laGéométrie de position. En ajoutant aux idées que nous venons deconsidérer celle du mouvement, on obtient un nouvel ensemble depropositions qui donne la Géométrie du mouvement. Enfin, en intro-duisant l’idée abstraite de grandeur géométrique (longueur, aire,volume,...), on obtient la Géométrie métrique. L’idée de mouvementdes éléments, point, droite,... ne peut point précéder la connaissancede certaines propriétés fondamentales de ces éléments, et par suite, laGéométrie du mouvement doit reconnaître son fondement sur la Géo-métrie de position, tandis qu’elle doit admettre des propriétés primitivespar l’idée de mouvement, pas encore contenues dans la Géométrie deposition. La Géométrie métrique, au contraire, reste complètementdéterminée par la Géométrie de position et de mouvement. En effet,en disant par ex. que la «longueur du segment a» est un élémentgéométrique abstrait commun à tous les segments qui sont super-posables au segment a, nous considérons des fonctions des figuresgéométriques (segments, polygones, polyèdres,. . .) qui sont bien déter-minées par les idées de position et de mouvement.

Géométrie de position. — Quant à la Géométrie de position — lesparallèles exceptées — à l’état présent de la science il n’y a plus rienà faire, des transformations logiques exceptées. Le système de postulatsde M. Pasch , ou celui de M. Peano , donnent toute la Géométrie de posi-tion, y compris le théorème de Desargues sur les triangles homo-logiques, et ces postulats expriment les propriétés les plus simplesque le topographe vérifie au moyen des jalons ou que le maçon vérifieau moyen du fil à plomb. Pour obtenir la théorie des parallèles, ilfaut joindre aux postulats précédents celui de la continuité, due àM. Dedekind et qu’on peut exprimer en disant que «Un ensembleconvexe de points, contenu sur un segment, est lui-même un segment».Cela fait, on obtient la Géométrie d’Euclide et celle de LobaLchewsky,mais non la Géométrie de Riemann , car, par ex. si le point a estsitué entre le point b et le point c, b n’est pas situé entre a et c.

La définition de demi-droites parallèles donnée**), on démontre quedeux demi-droites parallèles sont complanaires; qu’un point externe àla demi-droite a est l’origine d’une seule demi-droite parallèle à a;que la relation exprimée par le mot parallèle est réflexive, symétriqueet transitive ... Il en résulte aussi que: par un point extérieur à une

*) Pasch , Vorlesungen über neuere Geometrie. — Peano , Principi diGeometria logicamente esposti. 1889. — Sui fondamenti della Geometna (Rivistadi matematica. 1894).

**) Peano , Principi di Geometria logicamente esposti. 1889.