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IL Teil: Wissenschaftliche Vorträge.

droite ab sur la demi-droite ac\ et les correspondants en deux de cesmouvements d’un même point de la demi-droite a b coïncident. (7) Siles points a, b, c et les points a, b, d ne sont pas collinéaires, alorsil existe, au moins, un mouvement qui transforme le demi-plan a, b } c,sur le demi-plan a, b, d\ et les correspondants en deux de ces mouve-ments d’un même point du demi-plan a, b, c, coïncident. (8) Sia, b, c sont des points non collinéaires et si un mouvement transformea en a, b en b et c en c, alors le correspondant d’un point p noncomplanaire avec a, b, c, ne peut pas être en partie opposée de p parrapport au plan abc. — Si nous faisons usage des postulats (1) — (7),on a qu’un tétraèdre peut être superposable a son symétrique: cela n’ad-vient point en admettant aussi le postulat (8). On complète le système(1)—(7) en admettant que: «existent deux mouvements qui transformenten eux-mêmes trois points non collinéaires». Les postulats (7), (8)peuvent être remplacés par le seul postulat (7) de M. Peano .

Géométrie métrique.— Siaux termes longueur, aire, volumenous donnons la signification que nous avons déjà expliquée, on voitaisément que la géométrie métrique se réduit à un petit ensemble depropositions fondamentales par lesquelles on peut déduire que chaqueclasse de grandeur géométrique peut être mise en correspondanceunivoque et réciproque avec les nombres réels et positifs. Ce quirevient à traduire le V ème livre d’Euclide en substituant aux motsaçi&pog et Ao'yoç les expressions, qui nous sont habituelles aujourd’hui,nombre entier, nombre réel. —

Je démontre, dans ma Théorie des Grandeurs,*) qu’on peut réduireà 8 propositions celles qui doivent être vérifiées par une classe degrandeurs, afin de pouvoir affirmer que la classe que nous considéronspeut être mise en correspondance univoque et réciproque avec lesnombres réels. Pour les longueurs on démontre aisément ces propriétés;et celle qui exprime qu’une grandeur n’est pas la somme d’elle-mêmeavec une grandeur, est une conséquence immédiate de la rigidité dusegment dans le mouvement. Qu’une aire (ou un volume) ne peutjamais être la somme d’elle-même avec une aire (ou un volume) estadmis comme postulat dans les traités ordinaires. M. L. Gérard (à Lyon )a récemment démontré**) ces deux propositions en les réduisant à laproposition correspondante pour les longueurs, et par conséquent laquestion même de l’équivalence reste complètement résolue.

*) Formulaire de Mathématiques t. I. TV.

**) Bulletin de Mathém. spéciales t. I. — Bulletin de Mathém. élémentairest. I et t. II. — Bulletin de la Société mathématique de France t. XXIII.