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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

eredo displicebit ejus communicatio, sequentia autem circa illamannoto. 1) Non existimo me dixisso ipsam absolyi absque Methodoindivisibilium, ut vulgo vocant, sed saltcm non opus esse ut con-sidercmus rectangula cujusdam altitudinis indefinite parva; fateorenim considerandas esse vel solas lineas rectas aut superficies planas,ut solct Cavalerius, vel universalius cum Cartesio nihil aliud con-siderandum esse, quam solam relationem, qua ille solet uti ad cur-varum naturas calculo designandas, prout statim apparebit. Interimsi hisce non directa Methodo quadraturas curvarum quantitatumobtineri crcdis, utique nee Methodus mea hoc praestabit; ostendamaufem hic prius ex oecasione, quomodo didici quadraturam LunulaeHippocratis posse demonstrari per simplicem linearum transpositionemabsque Euclideo illo Theoremate quod insinuas”. Es sei (Fig. 23)EABD ein Kreis mit dem Centrum C ') und dem Eadius CA; AD,BE seien ein Paar senkrecht auf einander stehende Durchmesser.Nun sei BA gezogen und auf jeder Ordinate werde NK = ML ge-macht, so bilden die Punkte K eine Curve CKOB. Tschirnhausbehauptet nun, der Flächenraum CKOB sei gleich der Fläche desSegmentes AMBLA. Davon, dass dies richtig ist, überzeugt mansich leicht. Denn, nennt man den Itadius r, die Abscisse CN: x,die Ordinato NK der Curve CKOB:y, so ist NK — j — ML = NM— NL, oder, da Z ABC = 45°, also NL = NB = r — x ist,

y = V" r 2 — x 2 —(r—x), folglich Fläche CKOB =^dx Vr 2 — x 2

/* r V^7t r^TT.

—Jdx (r— x ) = 4 -r 2 + — = —-= Quadrant

ACBMA — A ACB, also Fläche CKOB = Segment AMBLA. Nunaber fuhrt Tschirnhaus fort, man ziehe FO 11 EB und mache JF =KO, so entsteht eine Curve EFH, und es sei Fläche EFHC = FlächeAMBLA, und daher der Halbmond EPAHFE 2 ) = A ACB oder ECD,denn es sei EFH ein mit dem Radius DE beschriebener Kreis. Diesist offenbar unrichtig, denn einmal ist die Fläche EFHCE nichtgleich dem Segmente AMBLA oder der Fläche CKOB; wahrschein-lich hat auch hier Tschirnhaus, von Cavaleri’s Methode getäuscht,so geschlossen: Die Fläche EFHCE ist der Inbegriff aller GeradenJF, die Fläche CKOB der Inbegriff aller Geraden KO, nun istjede JF = KO, also Fläche EFHCE = Fläche CKOB, was unrichtigist. Sodann auch ist die Curve EFH nicht ein mit dem Radius DEbeschriebener Kreis. Man überzeugt sich davon, dass Tschirnhaussich in diesen beiden Behauptungen geirrt, folgcndermassen. Es seiCQ:£, QE:?7, so ist g = CQ = JF = KO. Da nun /_ LOK —45°

’) In der in Gerhardt: „Leibnizcns mathematische Schriften. Band IV” hier-her gehörigen. Figur 92 steht irrthümlich 0.

^ In der Fig. 92 in Gerhardts; „Leibnizcns mathematische Schriften ist derHalbmond EPAHFfiH genannt.