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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

dass die Länge eines Stückes der Archimedeischen Spirale, vom An-fangspunkte an bis zur Anomalie = 2 n nicht gleich sein könnedem halben Umfange eines mit dem zur Anomalie 2 n gehörigenEadius Yector beschriebenen Kreises (vergl. pag. 44, Eig. 17)’),wenn auch die Gründe, die er anführt, nicht durchweg klar sind.Bezeichnen wir nämlich den Leitstrahl mit q , die Anomalie mitund rechnen letztere von AJ an, dem Laufe der Spirale folgend, soist die Länge S des Spiralenstückes ABEGJ, da die Gleichung dieserCurve Q = aS' ist,

fdd- Va 2 » 2 +•A> %

und, da /d# Kl -f- # 2 = a . 1 (# + K1 + & 2 ) + Const.

1 (2jl -f- V 1 + 47I 2 j.

ist,

• Dagegen ist der Eadius AJ des Kreises = 2 an, also der halbe Um-fang desselben = 2an: 2 , demnach in der That an Länge von demSpiralenstück ABEGJ verschieden.

Kehren wir nach dieser, Tschimhausens Ansicht über die Me-thode dos Untheilbaren betreffenden, Einschaltung wieder zu der Artzurück, wie er sein Quadratur-Verfahren entwickelt, so sind zunächstseine eigenen Worte anzuführen. Diese lauten 2 ):

„2) Itaque me ad Methodum modo promissam, quam breviter acclare potoro, explicandam accingo. Sit (Eig. 24) figura quaecunqueCBD, jam coneipiatur alia figura quaecunque CBA perpendicularitererecta supra lineam CB, atque sic ex infinitis rectangulis EJG for-metur solidum quoddam; dico jam infinitas intersectiones hujus solidisecundum lineam HG parallelam BC, seu quod idem, omnia rec-tangula EJG aequari omnibus spatiis ABJF. In hocunico et tarn facili consistit haec Methodus: quod qui bene perceperit,in reliquis nullam difficultatem experietur.” Man soll sich also inEig. 24 die Ebene CBA senkrecht auf die mit der Ebene des Papierszusammenfallende Ebene der Curve CBD gestellt denken. Es heisseferner CJ: x, die Ordinate JG der Curve CGD: y, die der CurveCFA: z, die Strecke CB:a, die Gleichung der Curve CGD sei y=q(x),die der Curve CEA sei z = tp (x), das Volumen des Körpers endlich,der entsteht, wenn man aus je zwei zu derselben Abseisse x ge-hörigen Ordinaten y und z, welche senkrecht auf einander stehen,das Rechteck construirt, heisse V, so ist offenbar

Jdx.(p(x) . ip (x).

Dieses sind, nach Tschimhausens Ausdrucksweise, „omnia rectangulaEJG” oder die „infinitae sectiones hujus solidi secundum JG paral-lelam BD”. Das Volumen des Körpers („solidi”) lässt sich aber auchauffassen, als: „infinitae sectiones hujus solidi secundum lineam HG

') Modic. Ment. 1695, pag. 172, 173.

-) Gerhardt: „Lcibnizcns mathematische Schriften. Band IV”, pag. 436.