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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

parallclam BC” oder als „omnia spatia ABJF”; es ist also auch,Um wir BD = T (a) mit b, BA = *(«0 mit c bezeichnen,

oder

T = jf(/? d ’) ay

Y = Jdy ^zdx

oder, wenn

dy

dx

— q'(x), also dy = </ ! '(x)dx gesetzt wird,Y = Jq'(x)(h.Jrp (x) d x

oder endlich, wenn Ji//(x)dx = F (x) ist,

V = pH x<p'(x) . [F(a) — F(x)] = F(a) Jdxcp'(x) — ^dxijr'(x)F(x)

oder, da q (o) = o ist, V = F(a) . y>(a) — Jd x q:,'(x) F (x).

Es ist also nach Tschirnhaus

oder

iit /»b g->*

I yzdz = /dy /zdz ')

a *^9 */t>

q> (x)^(x)dx = F(a) . <p(a) — ^dx<//(x)F(x).

In der That ist nach einer bekannten Regel der Integralrechnung:

Jy(x)i//(x)dx = <p(x)Jty(x)dx — jyWJtyMdx _oder, wenn, wie oben, J ip (x)dx durch F(x) bezeichnet wird, beiwelcher Substitution im Subtrahenden natürlich noch das Differenzial<1 x beizufügen ist,

frp (x) i//(x)dx = <p(x)F (x) — J'd x q/ (x) F (x),also ^f/)(x)i//(x)dx = <p(a)F(a) — ip(o)F(o) — |d"x</i'(x)F(x)

eine Formel, welche mit der obigen: Y = <jp(a)F(a) —

übereinstimmt, wenn einer der beiden Werthe q{6) oder F(o) gleicho imd der andere wenigstens nicht co ist, oder, wenn sowohl <f{o) alsF(o) gleich o sind. Da Tschirnhaus nur Fälle der letzteren Art imAuge hatte, so konnte und durfte er also die Richtigkeit seiner Regelbehaupten; sie gilt aber nicht mehr, wenn (p{o) = o und F(o) = oo,oder, wenn q{ o) = oo und F(o) == gleich o ist (wenigstens er-fordert dies in jedem speziellen Falle die Untersuchung des unbe-stimmten Ausdrucks o . oo), oder, wenn sowohl q{o) als F(o) Werthehaben, die beide von o verschieden sind. Die hier von Tschirnhausbeschriebene Auffassung erinnert, lebhaft an die von Gregorius a S.Vincentio ip seinem Werke: „P. Gregorii a Sto Yincentio opus geo-

m i ^ Rj 08 ^ asse üm, was Leibniz in der Marginalbcmerkung zu Brief III.itterhardt s: „Lcibnizons mathemat. Schriften. Band IY”, pag. 445. Anmerkung)über Tschirnhnusens Methode mit folgenden Worten sagt: „Methodum illamtuam per solidorum ductuum diversas sectiones hae complcctor aequatione trans-

condonte /zydx aeqn Jf* dx dy, ubi tantum ipsarum z et y relationem ad x inipsarum locuni substitui oportet”.