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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

oder, da auf den Integrationsbuchstaben nichts ankommt,Y = omn. rectangulaKLGH = f(l —V x)dx.

Q

Nun setzt Tschirnhaus in der Gleichung: „xx = 1 — V x” , dieeigentlich heissen sollte: „omn. xx = omn. (1 —- J/^x)” die Aus-drücke unter den Integralzeichen in den Gleichungen *) und **)einander gleich, also x 2 = 1 — l^x, woraus, da nach dem Früheren„omn. xx = war, folgt | = 1 — V x, also V x = |, oderrichtiger „omn. j/"x = -j”. Tschirnhaus stellt sodann noch mehrereandere, die Integration zusammengesetzter Functionen betreibendeSätze auf, ohne sie jedoch abzuleiten. Sie heissen: „omn. x V1. —xx= g g5 omn - xxl^l — x 3 = omn. x 3 l/"l —x 4 = ; omn.

x 3 J/^l—xx = ; omn. x 5 1^1—x 3 = ^-” u. s. w. Diese sind

4,15 o,15

jedoch nicht richtig, wovon man sich sogleich bei dem ersten: „omn.

x)f 1 —xx-8

2 „ ■■

__" n

‘2,3

überzeugt. Denn es ist fdx. x V~ 1—x 2

V~ 1 —x 2 + Const., folglich Jdx.xVl —x 2 = ^, und nicht, wieTschirnhaus will, Das Bisherige macht indessen nur einen Theil

seiner Methode aus, so dass er fortfährt'): „Interim ad alteram par-tem hujus Methodi me convertam, quae consistit ut dato aliquospatio mensura ejus detegatur (loquor saltem de superficie, quia omnesaliae quantitates ad has reduci possunt) tuneque sic procedo: con-jungendo primo rectangulum cum proposita figura, formo solidumhinc ut antea, et siquidem hinc non mensura patet progrediendo utsupra, assumo alias ac alias figuras quadrabiles et efticio hinc solidapriori aequalia et tune, ut antea, progredior formando semper aequa-tiones inter diversas illas-sectiones, cumque semper spatia illa quadra-bilia in certa progressione assumo, debent provenientia quoque semperin certa propressione progredi, adeoque ut faeile videam, num hacmethodo intentum assequi liceat. Ostendam speciminis loco, quaratione circuli et aliarum figurarum novas hac Methodo detexerimquadraturas”. Es sei gegeben ein Halbkreis DMJ (Fig. 27) mit demCentrum O und mit dem Radius a, ferner das Rechteck DACJ, desseneine Seite DA = a, dessen andere DJ = 2a ist.. Da Tschirnhaus hierdas Volumen V des aus dem Halbkreis DMJ und dem Rechteckhervorgehenden Körpers nicht zu ermitteln vermag, so nimmt er einDreieck FHD 2 ) an, in welchem FH 1 fil = 2a ist, und con-struirt nun einen Körper, welcher dem zu untersuchenden an Volu-

') Gerhardt: „Leibnizens mathematische Schriften. Band IV”, pag. 439.

2 ) In der hieher gehörigen Big. 97 Gerhardt: „Leibnizens mathematische

Schriften. Band IV” kommt der Buchstabe D zweimal yor; er ist daher hier

einmal durch D 1 ersetzt.