81

§. 6. Seine Quadratur - Methode.

men gleich ist, indem er sieh an Cavalleri’s Satz halt, nach welchemzwei Körper von derselben Höhe gleich sind wenn jede zwei inderselben Höhe genommene Querschnitte gleich sind. Er constrmrtalso mit Hülfe des Dreiecks FHD' einen Körper in welchem deraus dem Rechteck, dessen Seiten EG und GL sind, gebildete Quer-Bchnitt gleich ist dem aus dem Eechteck HK und KB gebildetenQuerschnitt des ursprünglich gegebenen Körpers, oder, um uns scmm'eigenen Bezeichnungsweise zu bedienen, in welchem Ecc 1 ecstets gleich Eechteck MKB ist. Die Punkte L bilden dann eineCurve HLS. Nun setze man JK = HG — NL = x, so ist, aOJ = a ist, DK = EG = EG = 2a — x; nennen wir fernerHN = GL : z, so haben wir, da Eechteck MKB = Eechteck EGL

sein soll, die Gleichung:_

a V 2ax — xx = 2az — zz,

2az

folglich >) x — aa+ ' zz !

„ex quibus patet cur v am hanc HLS esse eandem, qua egregie cir-eulum quadrasti. Sed yideamus, qualis quadratura ex hae Mothodoproveniat.” Dass „omnia rectangula EGL” gleich sind „omnibus spatiisD'HGE supra NL” oder GH wird durch den Calcul folgendermaassenausgedrückt: Es ist D'EGH = FHD' — FGE, also

D'EGH =

4aa

4aa — 4ax + xx2

oder

Nun war

also

D'EGH

4ax — xx

2 '

2azz

aa + zz ’

Wird dieser Werth eingesetzt, so ergieht sich

8aazz 2 ) 4aaz 4

" - — - — ^ *

aa + Zz

D'EGH = “ 4a ' ZZ + 2aa2t

4ax

■ xx =

aa + zz

4ax—xx

-

aH~ 2aazz + z 4 3 ) ’

„quod si in hac fractione loco 2aaz 4 esset 4aaz 4 , posset haec fractiodividi per aa + zz atque sic in tuam qnadraturam mciderem, quodaliquando examinabo, num possibiüs sit, hinc quoque educendi. Setzeman, fügt Tschimhaus hinzu, FG = D H — x, so werde gefunden

lAg- 2a«

a V 2s

- xx - -

a 4 + 2aazz + z 4

Man sieht also, dass Tschirn-

’) Eigentlich ergieht sich x = t ._. ^ , Tschirnhaus nimmt, ohne

jedoch einen Grund anzugeben, das — Zeichen, und vernachlässigt den anderenWerth y _H“ 2az 2

a 2 _j_ z i ? vermuthlich weil darin z ganz fehlt.

3 ) Der Zähler dieses Bruches lautet in Gerhardt: „Leibnizens mathematischeSchriften. Band IV", pag. 440 offenbar unrichtig 8azz.

3 ) Ebendaselbst fiudot sich statt dieses Nenners a* -f 2azz + z 4 .

Weissenborn: Ehrenfried Walther von Tschirnhaus. 6