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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

der Behauptung, mit seiner oder der gewöhnlichen Bezcichnungswoisekomme man bei dom Auflösen von Aufgaben ebenso weit, wie mitLeibnizens Algorithmus. Um alle quadrabelen Curven zu finden,habe er folgenden "Weg oingeschlagen: er bilde von x alle möglichen

Potenzfunctionen, x, x 2 , x

I^x, V x * 2 , Kx 3 . . . ]/x, V^x 2 . . •und verbinde sie zu zweien, dann zu dreien u. s. w. durch dasund — Zeichen; jeden solchen Ausdruck sehe er als die Eormelfür die Fläche einer Curve an und bestimme dann nach einer EegelBarrow’s die letzte begrenzende Ordinate (also durch Differenziation),so erhalte er alle quadrirbaren Curven. Auch sei er im Besitze einesVerfahrens, durch welches er auf zweifache Weise eine Curve, seisie eine geometrische oder nicht, allgemein („absolute”) quadrirenkönne, als auch bei einer mechanischen auf zwei Arten spezielleCurvenstücke zu bestimmen im Stande sei; eine nähere Angabe diesesseines Verfahrens giebt aber Tschimhaus nicht, und deutet nur dasan, dass die eine Methode, spezielle Curvenstücke zu quadriren, aufder Rcduction auf unendliche Eeihen beruhe. Dagegen erwidertLeibniz '): „Quoniam autem testaris Tibi difficile videri, invenircomnes figuras quadrabiles, ideo ostendam facilitatem. Proposita sitcurva algebraica quaecunque, utiquo ejus aequatio continebitur subhac generali 2 ): o D a + bx + cy -f- dxy -(- cx 2 -f- fy 2 + etc. (1),positis a, b, c etc. datis, quaeritur an ipsa sit capax quadraturaealgebraicae generalis, id est quaeritur ejus curva summatrix, cujusaequatio sit o fl 1 + mx -f- nz + pxz + qx 2 + rz 2 + etc. (2),erunt 1, m, n etc. quaesitae. Ex nota methodo tangentium constat

ponatur ^ fl y (4) et ex aequ. (3)

z n m + pz -f 2qxesse - n —- - - —(3);t n + px + 2rz v ’

et (4) fiet ny + pxy + 2rxy etc. (~1 m + pz + 2qx etc. (5), exqua aequatione tollendo z ope aequationis (2) habobitur aequatio, inqua solae erunt indefinitae x et y, quae proinde coincidere debet cumaequ. (1) data, quod an possibile sit constabit ex comparatione ter-minorum, qua invenimus valores literarum p, m, n etc. Atque itacalculo aliquot horarum habebimus universalem legem pro quadra-tura generali algebraica figurae algebraicae eujuscunque. Et meminimo Tibi jam haec Parisiis dicere, sed ut video non attendisti”.

Es ist nicht zu verkennen, dass das Verfahren, welches Tschirn-haus, nachdem in dem Briefwechsel mit Leibniz des Quadratur-Problems einige Zeit lang keine Erwähnung gethan worden war,plötzlich m den Act. Erud. bekannt machte, einige Aehnlichkeit mitdieser, von Leibniz angegebenen, Methode hat. Dieser Aufsatz findetsich in den Act. Erud. Mensis Octobris 1683, pag. 433, unter der

! ) Gerhardt: „Leibnizens mathematische Schriften. Band IV.” Brief VIII.

2 ) Das Zeichen D ist das Gleichheitszeichen. Das hier von Leibniz befolgte

Verfahren findet sich bereits in einer Abhandlung vom 29. October 1675: „Ana-lyseos Tctragonisticae pars secunda” (s. Gerhardt: „Die Entdeckung der höherenAnalysis. Halle, bei H. 'W. Schmidt. 1855”, pag. 121).