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§. 6. Seine Quadratur - Methode.

bz + t = o;

sei AHD vom zweiten Grade, so sei AFB bestimmt durch die Gleichung(2bz + 0 2 <? — ( 2 bz + 0 (yz + *)y + (yz + x) 2 b = o;oder, wenn kurz 2bz + t durch B, yz -f- x durch C bezeichnet wird,B 2 d + BCy + C 2 b = o;

sei AHD vom dritten Grad, so sei, wenn 2bz + 1 — B, 2yz -f- y — C,dz -)- A — D gesetzt wird, die Gleichung von AFB

B 3 t 2_ B 2Cds + BC 2 y« — C 3 ba + C 2 Dbd — CD 2 by + D 3 b 2—■ (2ys —* d 2 ) B 2 D + (3b«—y<5)BCD— (2bd— y 2 )BD 2 =o;wo nun für B, C, D, sowie für y, d, £, *, X, ihre oben angegebenenWerthe einzusetzen sind. Geschieht dies, so erhält man im erstenFalle, wenn also die Linie AHD vom ersten Grad, oder eine Geradeist, für AFB die Gleichung:

bz + ca + 2dx = o.

Ist die Gleichung für AHD von zweiten Grad, also diese Curvcein Kegelschnitt, so ergiebt sich als Gleichung für AFB nach voll-zogener Ausrechnung:

b(4bd—y 2 )z 2 + t (4bd— y 2 )z + (bz 2 -j- dt 2 — yiz) ~ound, wenn auch für y, d, t, y ihre "Werthe eingesetzt werden:bz 2 + acz + 2dxz -f- a 2 e -f- 2afx + 4gx 2 +

(d 2 e + c 2 g + bf 2 —cdf —4beg) a 2 x 2 _

4a 2 be + 4abfx + 4bgx 2 — a 2 c 2 — 2acdx —d 2 x 2 ° ’

oder: bz 2 + acz + 2dxz + a 2 e -f- 2afx 4gx 2

[(cd — bf) f — (d 2 — 4bg)e — c 2 g]a 2 x 2(c 2 — 4be)a 2 + (cd — 2bf) 2ax + (d 2 — 4bg)x 2 °‘Ebenso lässt sich auch die Gleichung für AFB finden, wenn AHDeine Curve dritten Grades ist. Eine Begründung dieser Regeln giebtTschirnhaus nicht. Für den ersten Fall, wenn AHD vom erstenGrade ist, ist dieselbe richtig; schon im zweiten aber, wenn AHDvom zweiten Grade ist, ist sie im Allgemeinen unrichtig und liefertnur dann ein richtiges Resultat, wenn c = e = o ist ’).

Von dieser seiner Regel macht nun Tschirnhaus eine doppelteAnwendung, einmal nämlich nimmt er, wie im Bisherigen geschehenist, die Curve AHD als gegeben an, und indem er für sie allemöglichen geometrischen Curven setzt und zu jeder AFB bestimmt,erhält er alle Curven AFB, welche, seiner Bezeiehnungsweise nach,quadrirbar sind, so dass er also eine Tafel derselben zu entwerfenim Stande ist. So ergiebt sich z. B., wenn für AHD ein Kreis,also als Gleichung derselben angenommen wird: y 2 =2ax — x 2 oder

’) "Wie "Weissenborn Wwiesen hat (Principion der höheren Analysis, pag. 81).Es ergiebt sich dann nämlich die richtige Formel: bz 2 + 2dxz 4- 2afx 4- 4gx 2 +

(d 2 —-Vbgjx-—4abf = °’ ^ statt des let2 toren Bruches steht daselbst irrthümlichf 2 a 2

4 (af+gx)‘