§. 6. Seine Quadratur - Methode.

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y 2 — 2ax -j- x 2 = o, oder, indem man b — 1, c d o — o, f — -

g = + 1 setzt, für das zugehörige AEB die Gleichung

9a 2 x — 12ax 2 + 4x 3

(3a-

2a — x-2x) 2 . x

oder z —

2a — x

Die zweite Anwendung, die Tsohirnhaus von seiner Regel macht,ist die, zu einer gegebenen Curve AEB die zu ihrer Quadrirungerforderliche andere AHD (die Quadratrix) zu bestimmen. Er nimmtals Beispiel hiefür die Umkehrung des letztangeführten Exempelsan, nämlich es sei gegeben die Gleichung der Curve AEB

9a 2 x — 12ax 2 + 4x 2

rr 2 --- #

2a — x

Da hier z höchstens in der zweiten Potenz vorkommt, so sehliosstTsohirnhaus, die Quadratrix, falls sie, was eben die Erage ist, einegeometrische ist, müsse eine Gleichung haben von der Eorm: by 2 +cay + dxy + ea 2 + fax -f gx 2 = o. Es kommt nun auf die Bestim-mung der Coeffieienten a, b, c, d, e, f, g an. Ergeben sich fürdiese mögliche Werthe, so ist damit die Gleichung der GuadratrixAHD gefunden, dieselbe ist also dann eine geometrische Curve,also ABE quadrirbar; ergeben sich hingegen für a, b u. s. W.unmögliche Werthe, so ist dies ein Zeichen, dass die gegebeneCurve AEB keine geometrische Guadratrix besitzt und dass alsoihre Quadratur unmöglich ist. Um nun die fraglichen Coefficien-ten a, b u. s. w. zu finden, vergleicht Tsohirnhaus die Gleichung

— — J 2äX^ j 3 X 3

z 2 —--- mit der von ihm oben aufeestelltcn

2a — x °

Gleichung bz 2 -f- acz + 2dxz + a 2 e + 2afx + 4gx 2 -f-

._(d^+^g + bf^-^df-dbeg^x 2 _ und gchreibt vor>

4a 2 be -}- 4abfx + 4bgx 2 —a 2 c 2 — 2acdx — d 2 x 2

man solle die Coeffieienten der gleichen Potenzen von x („ubi x

eandem compositionem utrobique obtinet”) gleichsetzen. Es finde

sich, fährt er fort, auf diese Weise b = c = d = e = o, f— —1,

8 = -j. Werden diese Werthe in die Gleichung by 2 + cay -f- dxy

y2 -^2

4- ea 2 4 - fax -f- gx 2 =r o eingesetzt, so lautet sie: ——- ax -j- 7 ^ — 0

oder y 2 = 2ax — x 2 , und diese ist die Gleichung des Kreises, wiedenn auch nach dem Vorigen zu erwarten war, dass dieses sich soverhalte. Die zur Bestimmung der Coeffieienten a, b u. s. w. nöthigoHochnung giebt jedoch Tsohirnhaus nicht. Was das Piincip,

welches seinem Verfahren zu Grunde liegt, betrifft, so muss manzugeben, dass dasselbe vollkommen richtig ist, dagegen ist unklar,wie Tscliimhaus die angeführten Werthe b , c e 0 ,

f — 1 ™_-i gefunden hat, namentlich wenn man sich erinnert,

dass er oben die Gleichung des Kreises durch eine andere Substitu-tion, nämlich b=l, c^d = e = o, f=-2, g = l ans der all-