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§. 6. Seine Quadratur - Methode.

gemeinen Gleichung by 2 + cay + dxy + ea 2 + fax + gx 2 = o ab-geleitet hat, mit welchen W erthon die neu gefundenen nicht über-einstimmen, obschon das Resultat beim Einsetzen dasselbe ist. Sodannentsteht der Zweifel, ob, da die allgemeine Formel bz 2 + aez + 2dxz(d 2 e+c 2 g+bf 2 —cdf—4beg)a 2 x 2

+a e+2afx+4gx + 4a 2 be+4abfx _f_ 4bgx 2 _ a 2 c 2 _2aedx-d 2 x 2 — 0überhaupt unrichtig ist, etwas Sichtiges durch Anwendung derselbensich ergeben werde. Und in der That, schafft man in dieser Glei-

. , . , , 2 9a 2 x — 12ax 2 + 4x 3

chnng sowohl, als m der gegebenen z 2 =- ' -

2a—x

nachdem man dieselbe zuvor auf Null reducirt hat, die Nenner weg,so ergiebt sich nach Ausführung der Rechnung für erstere die Form:a 2 b(4be — c 2 ) z 2 b (4bg — d 2 ) x 2 z 2 + 2ab (2bf — cd) xz 2+ 2d(4bg — d 2 )x 3 z + a(8bdf + 4bcg — 5ed 2 )x 2 z+ 4a 2 (2bde-(- bef— c 2 d)xz+a 3 c (4be—c 2 )z + 2a 3 (6bef— c 2 f— cde)x+ a 2 (20beg + 8bf 2 — 4c 2 g — 4cdf — d 2 e)x 2 -J- 2a (12bfg — 4cdg— d 2 f)x 3 + 4g(4bg — d 2 )x*

+ a 4 e (4be — c 2 ) = o;für die andere:

2az 2 —xz 2 + 12ax 2 — 9a 2 x— 4x 3 = o.

Vergleicht man nun beiderseits die Coefficionten gleicher Potenzenvon x und z, so erhält man die Gleichungen:

1) ab(4be — e 2 ) = 2;

2) b(4bg — d 2 ) = o;

8) 2ah(2bf—cd) =—1;

4) d(4bg — d 2 ) = o;

5) a (8bdf + 4bc,g—5cd 2 ) =

c 2 ) = o;

e 2 f—cde) =— 9;

4 cdf

6) a 2 (2bde + bcf—c 2 d) = o;

7) a 3 c(4be-

8) 2a(6bef-

9) a(20beg-|-8bf 2 —4c 2 g

— d 2 e) =12;

10) a(12bfg—4cdg—d2f)=—2;

11) g (4bg — d 2 ) = o;

12) a 4 e (4be — c 2 ) = o,

Man hat also 12 Gleichungen und nur 7 Unbekannte a, b, c, d, e,f, g. Es müssten also, ganz abgesehen davon, dass eine odermehrere derselben als constante Grössen in der fraglichen Gleichungbleiben sollen, mehrere dieser 12 Gleichungen zusammenfallen, undin der That wird den Gleichungen 2), 4), 11) durch die einzige:4bg — d 2 = o, den Gleichungen 7) und 12) durch die einzige:

— c 2 = o genügt; immerhin aber würde, auch wenn die letzteremöglich wäre, die Aufgabe überbestimmt bleiben. Davon, dass esunmöglich ist, die 7 Grössen a, b, e, d, e, f, g den Bedin guugender obigen Gleichungen anzupassen, überzeugt man sich leicht auffolgende Weise: A) a kann nicht = o sein, wegen 1), 3), 9), 10);B) b kann nicht = o sein, wegen 3); C) 4be — c 2 kann nicht = osein, wegen 1); da nun weder a, noch 4be — c 2 = o sein kann, somüsste nach 7) C) c = o sein; wäre dies aber der Fall, so reducirtesich die Gleichung 12) auf a 4 be = 0 , aus welcher, da weder a nochb = o sein kann, zu folgern wäre D) e = o. Da also nach C) undD) c = " '

o wäre, so müsste auch 4be — c 2

o sein, und die