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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

nicht ausgesprochene Behauptung zu Grunde, dass in einer mecha-nischen Curve keine Ordinate construirbar sei. Dies ist allerdings,was auch Loibniz erinnert, eine irrige Auffassung, denn sehr oftlassen sich in mechanischen Curven, nämlich in solchen, wo dieOrdinate eine transcondente Function der Abscisse ist, und in Folgedessen nicht mit dom Lineal und Cirkel construirt werden kann,die zu speciellen Abscissen gehörigen Ordinaten construiren. Hätteman z. B. für eine Curve AFB eine Quadratrix gefunden, derenGleichung etwa y = a-f-bl(l—x) wäre, so würde diese für x=ldie angebbare Ordinate a -f- b besitzen und es müsste sich demnachvon einem Theil der Fläche AFB der Inhalt genau angeben lassen.In beiden erwähnten Beziehungen sprach sich Leibniz in einem inden Act. Erud. Monsis Haji 1684, pag. 233 unter der Ueberschrift:„De dimensionibus figurarum inveniendis” aus, indem er sagt:„Hujusmodi cogitationum mearum, quas alibi non observavi” (näm-lich Curven mit Hülfe einer Guadratrix zu quadriren) „participemfeci amicum ingeniosissimum, qui etiam eas multis de suo inventisauxit, & suo tempore praeclara dabit; idem calculum inveniendiquadratrices algebraicas supra dieto modo aggressus aliquot tlieore-mata dedit. Unum tarnen cogit me monere amor veritatis”. Nun folgtder zweite erwähnte Einwurf, welchen Leibniz durch ein Beispielerläutert: Es sei nämlich (Fig. 30) AEBZ ein Quadrat mit derSeite h, und EG 11 ZA; es heisse BK : v, EM : y, und die Gleichungder Curve AMN sei y 4 — 6h 2 y 2 + 4y 2 v 2 + h 4 == o. Nun setze manGM = z, AG = x, so ist y = h — x, v = h — z. Werden dieseWertho in die Gleichung eingesetzt, so nimmt sie die Form an:h 4 — 4h 3 x + 6h 2 x 2 -—-41ix 3 -f- x 4 — 6h 4 4- 12h 3 x — 6h 2 x 2 + 4h 4— 8h 3 z + 4h 2 z 2 — 8h 3 z -f- 16h 2 xz — 81ixz 2 + 4h 2 x 2

oder

81ix 2 z + 4x 2 z 2 + h 4 = o

4h 2 z 2 — 8hxz 2 + 4x 2 z 2 — 8h 3 z 16h 2 xz— 8hx 2 z -f- 4h 2 x 2— 4hx 3 -(- x 4 = o.

Dividirt man diese Gleichung durch h 2 — 2hx + x 2 , so erhält man

(4h 2 — 4hx + x 2 ) x 28hz + ' - — '

4z 2

o.

h 2 — 2hx -f- x 2

Um nun die Quadratrix dieser Curve mittelst der von Tsehimhausaufgestellten Methode zu finden, hat man diese Gleichung mit dervon diesem gegebenen Formel (s. pag. 86)

bz 2 -j- caz + ca 2 4- 2dxz 2fax 4gx 2

_ (d 2 o 4- c 2 g 4- bf 2 4 - cdf — 4beg) a 2 x 2 _

4bea 2 4- 4bfax 4~ 4bgx 2 — c 2 a 2 — 2cdax — d 2 x 2 °zu vergleichen. Leibniz thut dies, indem er den ungebrochenenTheil beider Formeln, ferner die Zähler beider Brüche, und ebensodie Nenner vergleicht. Da nun hiernach 4h 2 — 4hx -f x 2 = (d 2 e+ e 2 g 4- bf 2 4 - — 4beg) a 2 zu setzen wäre, in ersterem Aus-

druck aber die Veränderliche x („indeterminata x”) noch vorkomme,während sie im zweiten fehle, so schliesst Leibniz, dass eine solche