§. 6. Seine Quadratur - Mothode.

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die Summe der Exponenten in jedem Gliede = 8 ist, mit Ausnahmedes Gliedes 16a 4 b 2 , so bemerkt man leicht, dass hier der Fehlerliegen und es entweder 16a 4 b 2 x 2 oder 16a 4 b 2 y 2 heissen muss. i nbeiden Fällen wird für x = o auch y = o und für x = a auchy = a. In beiden Fällen ist auch die Gleichung in Bezug auf yeine doppelt-quadratische. Setzen wir zunächst 16a 4 b 2 x 2 stattl6a 4 b 2 ,so lässt sie sich auf die Form bringen:vi 4a 5 x + 8a 3 b 2 x — 2a 4 x 2 — 8a 2 b 2 x z _

* ~ äV ' *

16a 2 b 2 x 2 —4a 6 x?—16a 2 b 4 x 2 24a 3 b 2 x 3 +4a 5 x 3 +32ab 4 x 3 +8 a 2 b 2 x 4 -a 4 x 4 -16b 4 x 4

a 4

oder, nach gehöriger Vereinfachung

f 2a 5 x 4a 3 b 2 x — a 4 x 2 — a 2 b 2 x 2 "l 2

32a 8 b 2 x 2 + 16a 6 b 2 x 4

2 j 2

48a 2 b 2 x 3

t)

Setzen wir 16a 4 b 2 y 2 an die Stelle von 16a 4 b 2 , so lässt sich dieGleichung schreiben:

4a 5 x + 8a 3 b 2 x — 2a 4 x 2 — 8a 2 b 2 x 2 + 16a 4 b 2

_Jt°x 2 —16a 2 b 4 x 2 —24a 3 b 2 x 3 +4a 5 x 3 +32ab 4 x 3 +8a 2 b 2 x 4 —a 4 x 4 —16b 4 x 4

a 4

oder, nach geschehener Vereinfachung

y 2 _j~ 2a 5 x + 4a 3 b 2 x — a 4 x z — 4a z b z x z + 8a 4 b z j 2_ j

32a 8 b 2 x 2 +64a"b 4 x 2 — 48a'b 2 x 3 +16a 6 b 2 x 4 — 32a»b z x— 64a’bx 4 -f 64a»b 4 f tt)

a 8 ')

In keinem Falle yon beiden ist der rechts stehende Ausdruck einvollständiges Quadrat. Man erhält daher in beiden für y einen

Ausdruck yon der Form y = F f / ( x ) db Vty( x ) un d da ein solchernicht integrabel ist, so scheint auf den ersten Anblick TschirnhausensBehauptung unrichtig zu sein. Untersuchen wir jedoch den erstenBall, wo also 16a 4 b 2 x 2 statt 16a 4 b 2 gesetzt war, näher und lösendie Gleichung nach y auf, so erhalten wir aus f)

y = tfY' 2a r, x+4a 3 b 2 x—a 1 x 2 —4a 2 b 2 x 2 ± K32a 8 b 2 x 2 +16a 8 b 2 x 4 —48a’b 2 x 3^ersuchen wir nun dieselbe rational zu machen, nach der Hegel

Fa — KÄ 2 — b

r A:

■Fi=r^-r

B

80 haben wir zu setzen 2a 5 x + 4a 3 b 2 x — a 4 x 2 — 4a 2 b 2 x 2 =A

32a 8 b 2 x 2 + 16a°b 2 x 4 —48a 7 b 2 x 3 =B

nnd erhalten

A 2 — B = 4a'°x 2 + 16a s b 2 x 2 -f 16a°b 4 x 2 — 4a°x 3 — 8a’b 2 x 3+ a 8 x 4 — 16a 7 b 2 x 3 — 32a 5 b 4 x 3 + 8a«b 2 x 4 + 16a 4 b 4 x 4— 32a 8 b 2 x 2 — 16a c b 2 x 4 -f 48a ! b 2 x 3^Veiasenborn: Ehrenfried Walther von Tschirnhaus. 7