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§. 6. Seine Quadratur-Methode.

oder, da man 48a’b 2 x 3 in 16a’b-x 3 + 32a 7 b 2 x 3 zerlegen kann,

16a 8 b 2 x 2 + 16a°b 4 x 2 — 4a 9 x 3 + 8a 7 b 2 x 3+ a 8 x 4 + 16a 7 b 2 x 3 — 32a 5 b 4 x 3 — 8a«b 2 x 4 + 16a 4 b 4 x 4= (2a 5 x — 4a 3 b 2 x — a 4 x 2 + 4a 2 b 2 x 2 ) 2

A + V~A 2 ~~

2 _

A — V A z — B

also

? = a 4 (2ax

und

also

x 2 )

= 4a 2 b 2 (ax — x 2 ),

= 1^2a

■x 2 + 2 V ax - x 2 .

di

Da nun die Curve ADGC innerhalb des Kreises sieh befinden soll,so ist das — Zeichen zu nehmen, also

v == V 2ax — x 2 — 2 — V^ax — x 2

di

zu setzen. Nach Tschirnhausens Behauptung soll nun, wenn wirdie Fläche des Kreisquadranten durch F, die Fläche ADGCB durchF bezeichnen, sich verhalten:

F — F:F = b:a — boder F : F = a : a —- b.

F — jfdx Vi

Nun ist

2ax ■

da es die Fläche des Kreisquadranten AECB ist, ferner haben wirF = j^dx(K2ax—x 2 — 2 ^ V~ax — x 2 )

fdx2^J^ ax—x 2.b- ° a

ß

Nun ist aber 2

— Vä

fdx 2ax—x 2 —

= F — Jdx.2~Va,:

b

(I)

1 2(|)x — x 2 die Ordinate

einer Ellipse mit den Halbaxen g- und b, und, da sieh die obere

Integrationsgrenze a auch 2 . 1^ ) schreiben lässt, das noch übrige

2 q _

Integral /dx^-J^Q^x— x 2 der Ausdruck für die Fläche dieser

(2)

halben Ellipse. Nun verhält sich nach einem, gewiss schon Tschirn-haus bekannten Satz die Fläche einer Ellipse zu der eines Kreises,dessen Durchmesser ihre Axe ist, wie die andere Halbaxe zum Halb-messer des Kreises. Denken wir uns also über AB als Durchmessereinen Halbkreis beschrieben, und nennen seine Fläche f, und überderselben Länge AB eine Ellipse mit der anderen Halbaxe b, undnennen ihre Fläche f, so verhält sich

f = 2 -

also ist