6. Seine Quadratur - Methode.

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folglich auch J&x. 2 — Vax ■

, b

x 2 = 2 “-f.a J

Nun ist / die Fläche eines Halbkreises mit dem Kadius 2 , die Fläche

des Halbkreises mit dem Kadius a ist, da ein Quadrant = F ist,= 2 F; die Flächen gleicher Sectoren von zwei Kreisen verhaltensich aber wie die Quadrate ihrer Halbmesser, also ist

f — - 2F — -J — 4 2’

folglich auch fäx 2 — V ax -Jo a

also

-x 2 = 2

2~ä F ’

b

F = F — j-F =

t — b

F.

a a

Es verhält sich also in der That F: F = a : a boder F — F : F b : a — b.

Behandelt man auf dieselbe Weise die Gleichung ft), die unter derVoraussetzung sich ergab, dass 16 a 4 b 2 y 2 statt 16 a 4 b 2 stehen müsse,so erhält man beim Versuche, den sich findenden Werth von y ra-tional zu machen,

A 2 —B = 4a ,0 x 2 -(- 16a°b 4 x 2 —4a°x 3 -j- 8a T b 2 x 3 -j-a 8 x 4 -|-16a 7 b 2 x 3— 32a 5 b 4 x 3 — 8a 6 b 2 x 4 + 16a 4 b 4 x 4 ,also einen Ausdruck, der kein vollständiges Quadrat ist (denn esfehlt das Glied — 8a 8 b 2 x 2 , welches ihn zum Quadrat von 2a s x■— 4a 3 b 2 x — a 4 x 2 + 4a 2 b 2 x 2 machen würde). Diese Annahme istalso unmöglich, und man sieht, dass in Tschirnhausens Formel 16a 4 b 2 x 2statt 16a 4 b 2 stehen muss. Tschirnhaus fährt fort, die Sehne ACWerde von der Curve ADGC so geschnitten, „ut AD semper sit adDC in ratione numeri quadrati ad alium numerum quadratum: v. g.quando quadrans AECB est ad spatium ACGD, ut 3 ad 1, CurvaADGC secat rectam ADC in D, ut AD sit ad DC, uti 49 ad 36”.Auch diese Behauptung Tschirnhausens erweist sich als richtig. Denndie Abscisse x des Durch'schnittspunktes D muss einen solchen Werth §haben, dass, da /_ CAB =45° ist, derselbe gleich ist der Ordinate.

Es muss also sein: _

g =r ]A2ag — $ 2 — 2 ~Ka$-

oder

= 2°-VaY

Sj

a

+ s,

K2a§ —g 2

Voraus nach beiderseitiger Quadrirung folgt:

415 V^i—Y = 2(1 — ajjO (Y—Y)

oder, durch Division mit V a§ —§ 2 >

Val— g 2 _ V ag — Y _ Vi

— | gz I l

(a 2 —2b 2 ) 2

also

1 =

2ab— 2b 2

und

5 =

+ 4b 4