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§. 6. Seine Quadratur - Methode.

(a 2 —2b 2 ) 2

Nun ist AD = g]A2, also AD = a r_j_ 4b ^

. a IA 2

und, da AC = a]/2 ist, ist CD

r ( a 2 —2b 2 ) 2 l , _ a 4 +4b 4 — a 4 +4a 2 b 2 -

“L 1 a 4 + 4b 4 J ' a 4 + 4b 4

L 4a 2 b 2

oder CD — a 4 + 4b 4 • a K'2-

-4b 4

-. a]/2

Es verhält sieb also AD : CD = (a 2 — 2b 2 ) 2 : (2ab) 2 , f)also in der That, wie zwei Quadratzahlen. Soll nun, nach Tschirn-hausens Annahme, sieh Fläche AECB zu Fläche AECGD verhalten

wie 3 : 1, so muss, da erstere = F, letztere = F — F war, sich

verhalten F : F — F = 3 : 1, also F : F = 3 : 2;

es verhielt sich aber auch F : F = a : a — b (s. pag. 99),

also haben wir die Proportion:

a : a — b = 3 : b,aus welcher folgt a = 3b.

"Wird dieser Werth in die Gleichung f) eingesetzt, so erhält man,wie Tschirnhaus behauptet,

AD : CD = 49 : 36.

Er fährt weiter fort: „Hujusmodi curvae, quae omnes talem con-ditionem habent, innumerae possnnt inveniri. Unam tantum ex

his superaddam. Sit curva, cujus natura y = V 2ax — x 2 —

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V 2a 3 x -j- a 2 x 2 — 2ax 3 — x 4 ab hac itidem spatium quadrantis inratione datae lineae ad datam lineam dividetur.” Auch wenn manden ebenfalls hier in der Gleichung der Curve sich findenden Druck-fehler verbessert, und, da sich für x = o und x = a ergeben sollbezüglich y = o, y = a, dafür schreibt:

y — V 2ax —r x 2 — ^ V 2a 3 x + a 2 x 2 — 2ax 3 — x 4 ,

so erkennt man doch leicht, dass diese Behauptung unrichtig ist,denn das Integral

ydxlA2a 3 x + a 2 x 2 — 2ax 3 — x 4 = ./dx]^(2ax -j- x 2 )(a 2 — x 2 )ist weder im Allgemeinen, noch zwischen den Grenzen o und a an-gebbar. Tschirnhaus schliesst hierauf seine Abhandlung mit denWorten: „Quodsi ergo quis, adspirante fortuna, inter tot curvas ineam mcideret, ubi segmentum AD segmento DGC esset aequale,Quadratura Circuli hucusque frustra quaesita, quoque foret manifesta.”Eine allgemeine Methode aber, welche Tschirnhaus besessen habenwill, eine geometrische Curve durch eine andere in zwei solche Theilezu zerlegen, dass sich dieselben verhalten, „ut linea data ad datamlineam, idque infinitis modis”, lässt sich aus dem angeführten Bei-spiel nicht erkennen.

Es gehören hieher auch mehrere Sätze, die Tschirnhaus in derschon oben (s. pag. 96) erwähnten Abhandlung: Act. Erud. MensisNovembris 1695, pag. 489. „Nova et singularis geometriae promotio,