§. 6. Seine Quadratur - Methode.

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circa dimensionem quantitatum curvarum, per D. T.” veröffentlichte.Er spricht sich nämlich hier so aus: Durch die in der „MedicinaKonti s”') mitgetheilte „curvarum genesis per focos” habe er gezeigt,dass ausser der „evolutio Hugeniana” jede Curve noch auf unzähligviele andere Arten evolvirt werden könne, und er habe hieraus auchmehrere die Flächenräwme („spatia”) betreffende Sätze abgeleitet.Es sei nämlich bekannt, dass die Eläche eines Kreises gefunden werdedurch Multiplication einer Geraden in den Kreisumfang; ebenso gebees auch Curven, durch deren Hülfe andere quadrirt werden könnten,und zwar seien unter diesen auch mechanische. Diese Curven, durchwelche die Quadratur anderer vermittelt werde, gingen in Gerade über,Wenn eine Eläche allgemein quadrirbar sei(„Curvae illae, per quas men-surantur reliqua spatia, in lineas rectas abeuut, cum spatium aliquodabsolute est quadrabile”). Als Beispiel führt Tschirnhaus folgendenSatz an: In einer Ellipse AEE (Eig. 33), sei vom Mittelpunkt Caus mit der kleinen Halbaxe CE ein Halbkreis BED beschrieben,dann sei eine Gerade CG und endlich GH || AE gezogen; so sei dasRechteck aus AE und dem Bogen HD viermal so gross als derEllipsensector CGE, also CGE der vierte Theil dieses Rechtecks(Produktes) aus AE in HD. Dieser Satz erweist sich als richtig,denn sind a und b bezüglich die grosse und kleine Halbaxe der

Ellipse, so ist ihre Mittelpunktsgleichung ^ 1, oder, wenn

wir Polarcoordinaten anwenden, und die Anomalie, oder den /_ CGEdurch ff, den Radius vector CG durch p bezeichnen:

p 2 cos 2 ff p 2 sin 2 ff

a 2 1 b 2 ~

a 2 b 2

°^ er ^ a 2 sin 2 ff + b 2 cos 2 ff'

Nennen wir nun die Eläche des Ellipsensectors CGE : F, so ist:

•ff

F

= hf/M

oder also F = a sin 2 ff + b 2 cos 2 ff

oder, wenn wir den maff und cos ff durch tang ff ausdrücken,

"'V + tang 2 ff)dffo 2 + a 2 tang 2 ff

Setzen wir jetzt tang ff = als0 ^ = A-rctang. x, äff ■

60 erhalten wir

a*b*/’fl*_ I+x 2

F = + 2 -f- a 2 x 2

äff

_ a 2 b 2 pV

= x,

dx

~1 + x 2

Arctan# x

dx

der

j o. pug. oo.

2 ) Huygens war es nämlich bekanntlich, der bei Gelegenheit aer UntersuchungCycloide zuerst auf die Evoluten der Curven aufmorksam machte.