5. 6. Seine Quadratur-Methode.

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lösen lasse. Der oben erwähnte Satz aber lasse sich auf folgendeArt leicht beweisen. Man verlängere GH (Fig. 33) bis J, dannverhält sieh JH : JG = CD : CE, also wie die kleine Halbaxe derEllipse zur grossen Halbaxe (denn, wenn man CF zur y-, CE zurx -Achse nimmt, ist die Gleichung des Kreises mit dem Radius

CF = b, x = Vb 2 —y 2 , die der Ellipse : x = ~V b 2 —y 2 , also

; JG = 1 : ^ =r= b : a), also auch

Fläche JHDC : Fläche JGEC = CD : CE.Ebenso verhält sich, da die Dreiecke JHC und JGC gleiche Höhenhaben, Fläche JHC : Fläche JGC = CD : CE,

also auch Fläche (JHDC—JHC) : Fläche (JGEC—JGC) = CD : CEoder Sector CHD : Sector CGE = CD : CE.

Nun ist Sector CHD = £ . CD . DH,

also verhält sich ’ CD . DH : Sector CGE = CD : CE,daher ist CE . HD = 2 . Sector CGE,

also AE . HD = 4 . Sector CGE.

Uebrigens sei der Satz auch allgemeiner, als ihn Tschirnhaus aus-gesprochen habe, denn er gelte nicht nur für Ellipse und Kreis, son-dern für jede zwei andere Curven, wenn sie nur „ejusdem generis”,d- h. so beschaffen sein, dass ihre Ordinaten JH, JG ein constantesVerhältniss hätten, bei jedem Paar solcher Curven hätten die SectorenCHD, CGE dasselbe constante Yerhältniss. Offenbar versteht JacobBernoulli unter Curven „ejusdem generis” solche, welche man jetzt„affine” zu nennen pflegt, und cs ist bekannt, dass bei diesen daserwähnte Yerhältniss stattfindet. Der andere Bruder, Johann Ber-noulli, theilte seine Ansicht mit in einem Aufsatze in den Aet. Erudit.Mensis Junii 1696, pag. 264, unter der Ueberschrift: „Joh. Bomoullisupplementum defectus Geometriao Cartesianae circa InventionemEocorum. Annotata quaedam in Schediasmata Leibnitianum & Tscliirn-hausianum in ultimo Actorum Novembr. edita. Do Complanatione su-perfioierum Conoidearum & Sphaeroidearum. Problema novum Mathe-matieis propositum”. Johann Bcrnoulli erweitert hier ebenfalls Tscliirn-hausens Satz, indem er richtig bemerkt, derselbe gelte auch dannnoch, wenn der Kreis nicht mit der kleinen, sondern mit der grossenHalbaxe beschrieben werde. Heber das aber, was Tschirnhaus vonder Hyperbel ausgesagt, fügt er hinzu: „Mirari hic subit, quod prontensuranda hyperbolae area velit adhibere arcum curvae mechanicae,oum tarnen id fleri queat & commodissimo ex ductu rectae constantisln arcum curvae Geometricae, nempe parabolae, ut notum est”. AuchWorin hat Joh. Bemoulli, wie man zugeben muss, Recht, denn cs

sei (Fig. 34) AP eine Hyperbel, deren Gleichung — b^ — 1 0flory — V b 2 + x z ist, so ist

Fläche OMPA oder F = “ JhV